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§5曲线拟合的最小

二乘法

一般的最小二乘逼近(曲线拟合

的最小二乘法)的一般提法是:对

给定的一组数据(x,y)(i0,1,,m),

ii

要求在函数类{,,,}中找

01n

一个函数yS*(x),使误差平方和

mmm

2

2*2

[S(x)y]min[S(x)y

2iiiS(x)i

i0i0i1

其中

S(x)ax(a)x()axn(m)(

0011nn

带权的最小二乘法：

m

2(x)[S(x)f(x)]2

2iii

i0

(x)0［］

其中是a,b上的权函数。

用最小二乘法求曲线拟合的问

题，就是在S(x)中求一函数

yS*(x)，使2取的最小。它转化

2

为求多元函数

mn

2

I(a,a,,a)(x)[a(x)f(x)]

01nijjii

i0j0

的极小点(a*,a*,,a*)问题。由求

01n

多元函数极值的必要条件，有

Imn

2(x)[a(x)f(x)](x)

aijjiiki

ki0j0

(k