专题18.3 （特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练（解析版）.pdfVIP

专题18.3（特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题专题讲练

1、以特殊平行四边形为背景的最值问题

解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下

的最值；(2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法

还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。

常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。

注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。

1）矩形中的最值问题

12022··PABCDACBC

例．（四川眉山中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点E的中点，连

PB

________

接PE，，若AB=4，BC=43，则PE+PB的最小值．

6

【答案】

BAC¢ACF¢ACP¢

【分析】作点关于的对称点B，交于点，连接BE交于点，则PE+PB的最小值BE的

¢

长度；然后求出BB和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．

BAC¢ACF¢ACP

【详解】解：如图，作点关于的对称点B，交于点，连接BE交于点，则PE+PB的最

小值¢的长度；

BE

ACAB=CD=4ABC=90°

∵是矩形的对角线，∴，∠，

在直角△ABC中，AB=4，BC=43，∴AC=8，∴ÐACB=30°，

1

¢¢BF=BC=23

由对称的性质，得BB=2BF，BB^AC，∴，∴¢

BB=2BF=43

2

∵BE=EF=23，ÐCBF=60°，∴△BEF是等边三角形，

¢¢

∴BE=BF=BF，∴DBEB是直角三角形，

∴2222∴66

¢¢，PE+PB的最小值；故答案为：．

BE=BB-BE=(43)-(23)=6

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三

角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE+PB有最小值．

变式1．（2022•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC

交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为．

【点睛】如图，设PQ交MN于F，连接A