梁的弹塑性弯曲相关问题基本求解.docxVIP

-1-

梁的弹塑性弯曲相关问题基本求解

屈巧克

武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070）

摘要：本文用弹塑理论对初等力学理论的可靠性与精确度进行讨论，分析了梁的弹塑性弯曲问题，并进一步分析横力作用下的的梁的弹塑性弯曲。悬臂梁讨论了梁的弹性阶段应力解和弹性极限荷载，弹塑性阶段的弹塑性解和塑性极限弯矩和卸载-残余应力。简支梁部分讨论了均布载荷情况弹性阶段应力解和弹性极限荷载，弹塑性阶段的弹塑性解和塑性极限弯矩。

关键词：梁的弹塑性；纯弯曲；悬臂梁；简支梁；弹性阶段；弹塑性阶段

1.梁的弹塑性纯弯曲

考察一根不计自重的矩形梁，假定梁的材料为理想弹塑性的。设梁的跨度为l，截面尺寸为b×h,如图1.1所示。梁的两端受到大小相等，方向相反的弯矩Mz的作用，并假设这两个弯矩作用在梁的对称平面内，建立如图1.1所示的坐标系，其中Ox轴沿梁的轴线方向，Oy轴和Oz轴取为截面的形心主轴。下面采用逆解法，求出梁在纯弯曲情况下内部的应力场和位移场。

M

、MX

、M

X

O

y

Z

Z

y

图1弯矩作用图

Fig1Theeffectofbendingmoment

1.1弹性阶段－弹性解和弹性极限弯矩

1.1.1弹性解

根据初等力学理论的结果，梁在纯弯曲情况下内部的弹性应力解为[1]

σy=σz=τxy=τyz=τxz=0(1.1)

-2-

式中：ρ表示梁弯曲后轴线的曲率半径。现在首先校核它们是否满足平衡微分方程和静力边界条件。

根据题设，体力为零(不计自重),故平衡微分方程

σij,j+Xi=0

(1.2)

显然是满足的。再考察边界条件。首先，在梁的侧表面，由于

X=

X=Y=Z=0l1=0将它们和应力表达式一起代入边界条件，

x1yx2xz3σl+τl

x1yx2xz3

yx1y2yz3τl+

yx1y2yz3

zx1yz2z3τl+τl

zx1yz2z3

(1.3)

显然是满足的。在梁的两个端面，问题仅提供集中力偶矩的形式，但根据圣维南原理，只要在梁的端面上各点的应力σz对应的力偶矩与弯矩Mz是静力等效的，则不管端面上的应力σz如何分布,(1.1)给出的应力分量就是问题得解。因此，梁端面上的边界条件就可以表示为

将应力表达式(1.1)中的σx代入(1.4)，可以发现，当σx满足以下关系式

或(1.6)

时，由应力表达式(1.1)确定的应力分量就完全满足梁端面上的边界条件(1.4)。其中，

Iz=∫2dydz=为梁截面关于形心主轴Oz的惯性矩，κ为梁弯曲后轴线的曲率。

这样，证明了以式(1.1)确定的应力分量确实是梁纯弯曲问题的弹性应力解，而当(1.5)成立时,还满足端面处的边界条件。如果在端面上的实际应力σz是按(1.1)中的函数形式分布的，则此时弹性应力解在全梁范围内都是精确的；如果实际应力σz不是如此分布的，但满足(1.4)表示的端面边界条件，则根据圣维南原理，此时的弹性应力解在远离端面的梁体范围是足够精确的，而在梁端面附近大约与断面尺寸相当的梁体范围内，就只是近似的。

为了求的位移分量，我们将应力表达式(1.1)代入本构方程[2]

(1.7)

再利用

(1.8)

得到如下一组方程：[3]

(1.9)

-3-

由上式可推导出（过程略）：u=+ay+bz+cv=??ax?iz+g?bx+iy+k(1.10)

(1.10)中的一次项和常数项分别表示梁的刚体转动和平动。为使梁不能任意转动和平动，可假设梁体内任意一点的位移为零，同时假定过坐标原点的且与坐标轴平行的三根微分线段dx,dy,dz中的任何两根保持不动，则有

(u)x=y=z=0=0(v)x=y=z=0=0(w)x=y=z=0=0

x=y=z=0=0x=y=z=0=0x=y=z=0=0(1.1