2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第1讲 常见相似模型.docx

第1讲常见相似模型

前言：相似三角形是初中几何的重难点，形式众多、变化多样是其难点，也是复习的重点，本讲介绍一些常见的相似图形及考察方式.

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A字型与8字型

(1)“A”字型

在△ABC中,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,AD

(2)“8”字型

若ED∥BC,则ABCADE.

引例1:如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G,若AF=2FD,则BEEG

A.12B.13C.23

解析:若AF=2FD,则AB=2DG,BE

2反A字型

(1)反“A”字:ABCAED,AD

(2)母子型:ABEACB,ABAC=

(3)推论:△ADC∽△AEB.

(∵AD

引例2:如图,D是△ABC的边BC上一点,AB=8,AD=4,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为()

A.15B.10C.152

解析:∵∠DAC=∠B,∴△CDA∽△CAB,

∴

∴

∴选D.

引例3:(2018·常州)如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是.

解析：如图，其中有三组始终存在：

△CPQ∽△CAB,△APQ∽△ACB,△APQ∽△ABC.

若△CPQ∽△CBA,则CPCB

3反8字型

(1)反“8”字:△AOB∽△DOC,OK,O?=00x

(2)推论:△AOD∽△BOC

证明:∵△AOB∽△DOC

∴

又∵∠AOD=∠BOC,

∴△AOD∽△BOC.

4.双垂模型

如图,在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,BE⊥AC,CD⊥AB.

一个集“反A”与“反8”于一身的模型.

5射影定理

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC交BC边于D点.

△BAD△BCA:BA2=BD?BC;

△CAD△CBA:CA2=CD?CB;

△ADB～△CDA:DA2=DB?DC.

引例4:如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C,且DA=DE.

(1)求证:直线CD是⊙O的切线;

(2)求证:OA2=DE?CE.

解析:(1)连接OE、OD,在△OAD和△OED中,

∴∠OED=∠OAD,∵AM是⊙O的切线,

∴∠OAD=90°,∴∠OED=90°,

∴CD是⊙O的切线.

连接OC,在Rt△OBC和Rt△OEC中,

∴△OBC≌△OEC(HL),

∴∠BOC=∠EOC,又△OAD≌△OED,∴∠AOD=∠EOD,

∴∠DOC=12∠AOB=90

6.三角形内接正方形

如图,在△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点,且四边形DEFG是正方形.

结论：1BC

证明：DE

BD

d

1

引例5:如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是

解析:过点A作AH⊥BC交BC于点H,

则SABC

正方形边长为4×3

7三平行模型

如图,AB∥CD∥EF,记AB=a,CD=b,EF=c.

结论：1

证明：EFAB→DEFDAB→

EFCD→BEFBCD→

∴

∴

8黄金分割

(1)黄金分割点:如图,点C在线段AB上,若满足BCAC

(2)黄金分割比：BC

(3)黄金三角形

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引例6:如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=5

(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;

(2)求∠ABD的度数.

解析：1

CD=AC?AD=1?

∴AC?CD=

2

BC

又∠BCD=∠ACB,∴△BCD∽△ACB,

∴∠BDC=∠ABC=∠ACB,∠CBD=∠BAC,

∴BD=BC=AD,设∠C=α,则∠ABC=∠BDC=α,

∠A+∠ABD=α,∴∠A=α/?,

∴

∴α=72

即∠ABD的度数是36°.

(4)黄金分割与正方形

如图,在正方形ABCD中,E是AD边中点,F在AB边上且CF平分∠BCE，则点F是线段AB的黄金分割点.

证明：延长CF交DA延长线于G点，

则∠G=∠BCF=∠ECF,∴EG=EC,

设边长AD=2m,则AE=DE=m,EG=EC=