2025年高考数学二轮复习 专题三 数列 第3讲　数列的递推关系解析版.docx

第3讲数列的递推关系（新高考专用）

目录

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【真题自测】 2

【考点突破】 13

【考点一】构造辅助数列 13

【考点二】利用an与Sn的关系 18

【专题精练】 22

考情分析：

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（????）

A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

2．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（????）

A． B． C． D．

3．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（????）

A． B． C． D．

二、填空题

4．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；???②为等比数列；

③为递减数列；???????④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

参考答案：

题号

1

2

3

答案

B

B

A

1．B

【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.

法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.

【详解】法1：因为，故，

对于A，若，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立，

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，

故为减数列，注意

故，结合，

所以，故，故，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，故恒成立仅对部分成立，

故A不成立.

对于B，若可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，故为增数列，

若，则恒成立，故B正确.

对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为减数列，

又，结合可得：，所以，

若，若存在常数，使得恒成立，

则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.

对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为增数列，

又，结合可得：，所以，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

法2：因为，

令，则，

令，得或；

令，得；

所以在和上单调递增，在上单调递减，

令，则，即，解得或或，

注意到，，

所以结合的单调性可知在和上，在和上，

对于A，因为，则，

当时，，，则，

假设当时，，

当时，，则，

综上：，即，

因为在上，所以，则为递减数列，

因为，

令，则，

因为开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，故，

所以在上单调递增，故，

故，即，

假设存在常数，使得恒成立，

取，其中，且，

因为，所以，

上式相加得，，

则，与恒成立矛盾，故A错误；

对于B，因为，

当时，，，

假设当时，，

当时，因为，所以，则，

所以，

又当时，，即，

假设当时，，

当时，因为，所以，则，

所以，

综上：，

因为在上，所以，所以为递增数列，

此时，取，满足题意，故B正确；

对于C，因为，则，

注意到当时，，，

猜想当时，，

当与时，与满足，

假设当时，，

当时，所以，

综上：，

易知，则，故，

所以，

因为在上，所以，则为递减数列，

假设存在常数，使得恒成立，

记，取，其中，

则，

故，所以，即，

所以，故不恒成立，故C错误；

对于D，因为，

当时，，则，

假设当时，，

当时，，则，

综上：，

因为在上，所以，所以为递增数列，

因为，

令，则，

因为开口向上，对称轴为，

所以在上单调递增，故，

所以，

故，即，

假设存在常数，使得恒成立，

取，其中，且，

因为，所以，

上式相加得，，

则，与恒成立矛盾，故D错误.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与