2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第6章 坐标系中的角第2节 相等角的构造.docx

第2节相等角的构造

前言：在了解特殊角的基础上，可构造相等角，若存在特殊位置关系，则从位置考虑；若无特殊位置关系，可用三角函数度量并构造.

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构造相等角

(1)平行：两直线平行，同位角、内错角相等；

平行:∠1=∠3,∠2=∠3

(2)角平分线：角平分线分的两个角相等；

角平分线:∠1=∠2

(3)等腰三角形：等边对等角；

(4)全等(相似)三角形：对应角相等；

全等三角形:∠1=∠2

(5)圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

(6)三角函数：若两个角的三角函数值相等，则这两个角相等；

三角函数:若tan∠1=tan∠2,则∠1=∠2

构造相等角，先考虑是否有特殊位置关系，作恰当的几何构造，若无明显位置关系，再考虑度量角，即用三角函数值构造相等角.思路多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的.

引例1:如图,已知抛物线过点A(4,0),B(-2,0),C(0,-4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C和点C?关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上,且∠PAB=∠CAC?,求点P的横坐标.

解析:(1)抛物线:y=

(2)由题意得:C?坐标为(2,-4),

思路1：计算已知角三角函数值构造相等角过点C?作C?H⊥AC交AC于H点,由题意得点H(1,3),

∴H

∴tan∠CAC

设点P坐标为m

则由题意得：|

解得：m

∴点P的横坐标为?43或

思路2：巧用特殊角.

如图构造等腰直角三角形AMC，

可得M点坐标为(4,-4),

∴△AMC是等腰直角三角形.∠MAC=45°,考虑tan∠MAC1=

引例2:如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.

(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

(2)F(x,y)是抛物线上的动点:

①当x1,y0时,求△BDF的面积的最大值;

②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.

解析:(1)抛物线:y=?x2+2x+3,D点坐标为(1,4);(2)①铅垂法,当F坐标为(2,3)时,△BDF面积最大,最大值为1；

②思路1：构造平行线.

过点E作EF∥BD交抛物线于F点,

∵BD解析式:y=-2x+6,

可得EF的解析式为:y=-2x+2,

联立方程：?x2+2x+3=?2x+2,

解得：x1

∴F点坐标为2?

将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点，且翻折后的直线解析式为：y=2x-2，

联立方程：?x2+2x+3=2x?2,

解得：x1

∴F点坐标为?

综上，F点坐标为2?5?2+25

思路2：三角函数值.

由题意可得:tan∠DBE=2,

设F点坐标为m

过F点作FH⊥x轴交x轴于H点,则H点坐标为(m,0),FH=?m2+2m+3|,EH=|m?1|,由题意得：

tan∠AEF=FHEH=|?m2+2m+3||m?1|=|m2

引例3：若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,-2),且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式；

(2)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由.

解析:(1)抛物线:y=

(2)思路1：构造全等三角形

作△AOB关于AB的对称的△ANB，BN与抛物线的交点即为M点.求N点坐标:构造△AEN∽△NFB,

可得N点坐标为24

∴直线BN解析式为：y=?

联立方程：2

解得：x

即M点横坐标为118，∴M点到y轴的距离为

思路2：构造等腰三角形

考虑直接分析∠ABO=∠ABM并不容易，可寻找∠ABO的相等角.过点A作AH⊥x轴,延长BM与AH交于H点,则∠BAH=∠ABO=∠ABH,△ABH是等腰三角形,即AH=BH,设H点坐标为(3,m),

则AH=?m,BH=

令?m=3?02+

故H点坐标为3

由B、H两点坐标求直线BH解析式：y=?512x?2,

引例4:如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.

(1)求抛物线解析式；

(2)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.

解析:(1)抛物线:y=?

(2)思路：构造辅助圆

考虑到∠BAC和∠BQC所对的边均为BC,故构造△ABC的外接圆，