2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第6章 坐标系中的角第3节 二倍角、半角的构造.docx

第3节二倍角、半角的构造

前言：既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也较多，结合条件恰当地选择方法是解题关键.

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几何构造

结合角所在的位置及图形构造倍角或半角，比如构造等腰或构造平行+对称.

引例1:如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A、B两点,交y轴于C.直线y=x-5经过点B、C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.

解析:(1)抛物线:y=?x2+6x?5;

(2)思路：构造等腰三角形

①如图,当M点在线段BC上且AM=CM时,有∠AMB=2∠ACB.设M点坐标为(m,m-5),结合A、C两点坐标，

可得：MC2=2m2,AM2=

当AM=CM时,

即2m2=m?12+m?5

∴M点坐标为13

②过点A作AH⊥BC交BC于H点,

则①中的M点关于H的对称点M?也是满足条件的M点，可求H点坐标为(3,-2),

∴点M?的坐标为23

综上所述，M点坐标为136?17

2三角函数值

构造半角三角函数.

tan

tan

构造二倍角三角函数：

当求出三角函数值后，

若角有一边平行于坐标轴，可求另一边的k值及解析式；

若角无边平行于坐标轴，可构造三垂直相似或全等得定角.

引例2:如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;

解析:(1)抛物线:y=x2+2x?3;

(2)思路：利用特殊角的三角函数值

考虑到A点坐标(1,0),C点坐标(0,-3),

∴

若∠PAB=2∠ACO,可证得:tan∠PAB=

转化角的正切值为直线的k，即k

当kPA=3

联立方程：x

解得：x

∴P点坐标为?

当kPA=?3

联立方程：x

解得：x

故P点坐标为?

综上所述，P点坐标为?94?

引例3：在平面直角坐标系中，直线y=12x?2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

解析:(1)抛物线:y=

(2)由题意可得：tan

①若∠MCD=2∠ABC,则tan

过点C作CN∥x轴，作CB关于CN的对称直线与抛物线交点即为D点.根据对称可知：k

代入点C坐标可求得直线CD解析式：y=?

联立方程：1

解得:x?=0(舍),x?=2,

∴D点横坐标为2.

②若∠MDC=2∠ABC,则tan

过点B作BE⊥BC交CD的延长线于E点,故点E作EF⊥x轴交x轴于F点,由题意可得△EFB∽△BOC,且相似比:BE

可得：BF=32,

∴直线CE的解析式为y=?

联立方程：1

解得：x?=0(舍),x2

综上所述，D点横坐标为2或29

真题演练

1.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-4,0)、(0,4)、点C(3,n)在第一象限内,连接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n=.

2.(2019·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线y=?12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标.

3.如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.

问题：当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=1

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点,过点D作DF⊥