二次型及其标准型.ppt

015.二次型及其标准型02在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：把方程化为标准形的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。STEP01STEP02定义1：含有n个变量x1,x2,…xn的二次齐次函数其中一、二次型概念二次型的矩阵形式其中称A为二次型f的矩阵，显然A=AT;A=(aij),若aij为复数，称f为复二次型；A=(aij),若aij为实数，称f为实二次型；称为R(A)为二次型f的秩。例1.把下面的二次型写成矩阵形式；01定义9.称只含有平方项的二次型02为二次型的标准型（或法式）。二、二次型的标准形所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：定理9任给可逆矩阵C，令B=CTAC，若A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)=R(A)。证：A为对称矩阵，即有AT=A，于是，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B.故B为对称矩阵.再证R(B)=R(A).因B=CTAC,故R(B)≤R(AC)≤R(A).又因A=(CT)-1BC-1,故R(A)≤R(BC-1)≤R(B)于是R(B)=R(A).0102