北师大版数学九下期末复习训练专项25 二次函数与面积有关的问题（解析版）.doc

专项25二次函数与面积有关的问题

类型一：面积等量关系

类型二：面积平分

方法一：利用割补

将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）

方法二：铅锤法

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、D坐标求得铅垂高

（5）

方法三：其他面积方法

如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图2，同底三角形的面积比等于高的比．

如图3，同高三角形的面积比等于底的比．

【类型一：面积等量关系】

【典例21】（2022?盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；

【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；

（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），

设点P（m，m2﹣3m﹣4），

则，，

∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，

∴S△BCE＝S△BPE，

∴，

解得：m1＝3，m2＝0（舍去），

∴P（3，﹣4）；

方法二：∵S1＝S2，

∴S△PBE＝S△CBE，

∴PC∥x轴，

∴点P与C关于对称轴x＝对称，

∴P（3，﹣4）；

【变式1】（2022?泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求a，c的值；

（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；

（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：

解得：；

（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴AB的解析式为：y＝2x+4，

设直线DE的解析式为：y＝mx，

∴2x+4＝mx，

∴x＝，

当x＝3时，y＝3m，

∴E（3，3m），

∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，

∴?3?（﹣3m）＝?4?，

∴9m2﹣18m﹣16＝0，

∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，

∴m1＝﹣，m2＝（舍），

∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；

【类型二：面积平分】

【典例2】（2022?沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线AD的函数表达式；

（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；

【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；

②由①得y＝x2﹣x﹣3，

当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，

解得：，

∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；

（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，

∵S1＝2S2，即＝2，

∴＝2，

∴＝，

∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，

∴EM∥FN，

∴△BFN∽△BEM，

∴＝＝＝，

∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），

∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，

∴F（2+t，t2﹣t﹣2），

∵点F在直线AD上，

∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，

解得：t1＝0，t2＝2，

∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；

【变式2】（2022?内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c