数学竞赛题讲座5.pptVIP

第二章化归的方向;思考和分析显然，因此若p=0或pq0，则均

有，从而便有.这样，不失一

般性，我们可以认为p、q是自然数（若p、q都是负数，则令

p’=-p，q’=-q，就可以把问题转化为证明不等式

，其中p’、q’都是自然数,显然，由于p、qN，故

因此由绝对值的对称性，我们可以考虑和的两种情形。

;当q=1时，p2，那么;这样，当时，有

;例2恰好有三个真分数，其分母小于100，由不规则的约分约去一

个非零数字后即为其最简分数，其中之一是求另外两

个这样的分数，并证明没有其它这样的真分数。;假设，那么n=而9b10b-a,故na,那么n+1a,;例3序列{an}是自然数序列的某一排列，用I（a1a2…）表示连分数：

证明：I不可能取[]中的任何一个值。;所以。〔1〕;例4设I是n个点的集合。

〔1〕假设连续I中任意两点的直线必过I中的某个第三点，那么此n点共线。

〔2〕I中的点不都位于一直线上，那么连结I中的每两点，至少可得n条不同的直线。;由假设P不是I中的点，但它位于至少包含I中三点的某一直线上，设此三点顺次为Q、R、S，显然Q、R、S至少有二点在的同一侧，假设仅Q、R在的同侧〔如图〕，那么由于A、Q是I中的点，直线AQ将包含I中的第三点O，这样，无论O在何处，线段OR或OS与线段AP总有交点，记为P1，显然这与P的选择矛盾。假设Q、R、S都在的同侧〔如图〕，那么由于A、R是I中的点，直线AR将包含I中的第三点O，这样无论O在何处，也有线段QO或SO与线段AP相交，记为P2，这也与P的选择矛盾。;(2)由I中的n点不全共线，我们设m是这些点对中不同的连线的数目。由〔1〕的证明知，这m条直线中至少有一条恰包含I中的两个点，设为A1、A2。考虑除A1外的n-1个点的集合，这个集合最多包含点对的m-1条连线〔因为A1A2不包含在这些连线中〕，照这样的方法，只要剩下的点不全共线，我们就可以不断重复从点集中逐??除去一点的过程，设经r次这样的过程后，剩下n-r个点都共线，于是，在第r次这样的过程后，剩下n-r个点都共线，于是，在第r次前有n-r+1个点，其中的n-r个点共线，这样恰存在n-r+1条不同的连线。但是由于从原集合I中减少了r-1个点，故有n-r+1m-(r-1)，即nm。

这样，至少存在n条不同的连接线;例5在自然数范围内，求方程

y2+y=x4+x3+x2+x。〔1〕

的所有解。;从而易得x=2，y=5。事实上，假设〔x，y〕为方程〔1〕的自然数解，那么由〔2〕式易得y=x2+a,其中

1ax，假设a1，那么〔y，x2+1〕|(a-1)，又由〔2〕知y|(x2+1)·(x2+x),那么y|(a-1)(x2+x)。而〔a-1〕〔x2+x〕=(a-1)(x2+a)+(a-1)(x-a)，

那么y|(a-1)(x-a)，但0(a-1)(x-a)(x-1)2x2+a=y，矛盾。故而a1不可能，那么a=1。从而x=2，y=5。;例6设内接于一给定圆的三角形的顶点是外切于此圆的三角形的切点。;因此，我们就可以进一步探索这样的三条垂线之间可能的数量关系，也就是说我们可先研究一下圆上一点到一条弦的垂线和该点到弦的端点的切线的垂线之间的关系。

如图，P是⊙O上一点，AB是圆的弦，PM垂直于AB，且PD、PE分别垂直于过A、B的切线。连PA、PB，显然;其实这也是一个大家十分熟悉的命题，有了这个结论，原来的问题就迎刃而解了。事实上，回到原来的问题〔见图〕，我们有PR2=PE?PF，PN2=PD?PE，PM2=PD?PF。;例7证明：不存在素数P，使得n1时，PN+1=2M；且不存在素数P，使得n2时PN-1=2M。;其次，考虑第二个命题。

类似于〔1〕的讨论，P必为奇数，故假设n为奇数且大于1，那么有

Pn-1=(