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【知识要点】
一、四种距离的定义及常见求法
1、线线距：线线距指的是两条平行直线之间的距离，其中一条直线上的任意一点到另外一条直线的距离.
常见求法：(1)几何法：在其中一条直线上任意取一点，然后作另外一条直线的垂线段，求垂线段的长度.（2）向量法：，其中，是的方向向量
2、异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．
常见求法①几何法：先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可．②向量法：如下图所示，是两异面直线，是和的法向量，点，则异面直线与之间的距离是；
ab
a
b
E
F
3、直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间，为直线上任意一点到平面间的距离.
常见求法：（1）几何法：找作证（定义）求（解三角形）；（2）向量法.利用直线与平面之间的距离公式：，其中是平面的法向量
4、平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间，为一个平面上任意一点到另一个平面的距离.
常见求法（1）几何法：找作证（定义）求（解三角形）；（2）向量法.一般利用两平行平面之间的距离，其中是平面的法向量
二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离.所以均可以用求函数的最小值法求各距离..
三、上面四种距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解.
四、在上面四种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法.
【方法讲评】
两平行直线的距离
方法一
几何法
使用情景
直线和直线的距离比较容易作出.
解题步骤
找作证（定义）求（解三角形）
方法二
向量法
使用情景
直线和直线的距离不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标.
解题步骤
建立空间直角坐标系求直线的方向向量求代入公式，其中，是的方向向量
由于高考关于立体几何中两平行线间的距离考得相当少，几乎不考，所以这里不再赘述.
异面直线间的距离
方法一
几何法
使用情景
异面直线的公垂线段存在或比较容易作出.
解题步骤
证线段为异面直线的公垂线段求出的长即可．
方法二
向量法
使用情景
异面直线的公垂线段不存在或不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标.
解题步骤
建立空间直角坐标系求和的法向量(是两异面直线)求向量()代入异面直线和之间的距离公式
【例1】已知正四棱柱，点在棱上，截面,且面与底面所成的角为,,求：
(1)截面的面积；(2)异面直线与之间的距离；(3)三棱锥的体积.
(3)连结交于，交于，推证出⊥面
∴是三棱锥的高，得
【点评】本题就是利用利用几何法求两异面直线的距离，先证明是异面直线与间的公垂线，再求.学科.网
【反馈检测1】直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，，点到的距离为=，为的中点.
（1）求证：⊥平面；
（2）求异面直线与之间的距离；
（3）求二面角的平面角的正切.
【例2】如图1，正四棱锥的高，底边长.求异面直线和之间的距离？
AB
A
B
C
D
O
S
图1
【点评】由于本题已知条件适用于建立空间直角坐标系，所以选用向量的方法求两异面直线间的距离.
【反馈检测2】已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，求：
（Ⅰ）与平面所成角的余弦值；（Ⅱ）二面角的余弦值；
（Ⅲ）异面直线与之间的距离．
直线到平面的距离
方法一
几何法
使用情景
直线上一点在平面的射影位置比较容易确定.
解题步骤
找作证（定义）求（解三角形）
方法二
向量法
使用情景
直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标.
解题步骤
建立空间直角坐标系求平面的法向量求平面的斜向量的坐标（）代入公式，即得直线到平面的距离.
【例3】在直三棱柱中,,，求：
（1）异面直线与所成角的大小；（2）直线到平面的距离．
【点评】线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用作垂线.学科.网
BACD【反馈检测3】已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点.（1）求点到直线的距离.（2）求直线到平面的距离.
B
A
C
D
【例4】如图①在直角梯形中，，，，，分别是线段、，的中点，现将折起，使平面⊥平面（如图②）
（1）求证∥平面；（2）求直线与平面之间的距离；
（3）在线段上确定一点，使⊥平面，试给出证明．
(2)由(1)知∥平面，则到平面的距离为点到平面的距离
平面的法向量，(2,0,0),(1,2,0),=(-1,2,0)
所以点到平面的距离为｜｜==
∴到平面的距离为
（3）假设在线段上存在一点，使⊥平面，
【点评】本题就是把直线到平面的距离转化成点到平面的距离，再利用公式求解.
平面到平面的距离
方法一
几何法
使用情景
一个平面内的点在另外一个平面的射影位置比较容易确定.
解题步骤
找作证（定义）求（解三角形）
方法二
向量法
使用
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