北师大版数学九下期末复习训练专项38 三角形的内心与外心（解析版）.doc

专项38三角形的内心与外心

考点1三角形的内心

（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；

（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形的三个内角平分线交点；

【解题技巧】

（3）见到三角形的内心就想以下两点：

①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.

如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，

必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB

②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.

如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，

必有OD=OE=OF.

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。

BOAD（3）S△ABC=

B

O

AD

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C

考点2三角形的外心

（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，

这个圆叫作三角形的外接圆；

（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形的三条边的垂直平分线交点；

【解题技巧】

（3）见到三角形的外心就想以下两点：

①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.

如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，

必有AD=CD，BE=CE.

②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.

如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，

必有PA=PB=PC.

（4）与三角形外心有关的角度问题：

①外心在三角形的内部三角形为锐角三角形三个角都小于90°

②外心在三角形的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；

③外心在三角形的外部三角形为钝角三角形有一个角大于90°.

【考点1三角形的内心】

【典例1】（2022?河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5

【答案】D

【解答】解：设AD＝x，

∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，

∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE，

∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，

∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，

∵CE+BE＝BC＝13，

∴9﹣x+14﹣x＝13，

∴x＝5，

∴AD＝5．

故选：D．

【变式1-1】（2022?五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（）

A．4 B．5 C．9 D．13

【答案】A

【解答】解：设AF＝a，

∵△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，

∴AC＝13，

∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，

∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，

∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，

∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，

∵BD+CD＝BC＝14，

∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，

解得：a＝4，

即AF＝4．

故选：A．

【典例2】（2019秋?江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【解答】解：连接OE、OF，如图所示：

∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，

∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC，

∵∠ACB＝90°，

∴四边形OECF是正方形，

∴OE＝CE＝CF，

设BD＝BE＝x，则OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，

解得：