2025年中考数学二轮专题复习第4节 旋转的性质与手拉手模型 （含解析）.docx

第4节旋转的性质与手拉手模型

前言：相比平移、对称，旋转无疑是三大变换中最难的一个，一方面在于图形构造较为复杂，另一方面旋转本身的故事就很多.本节从性质开始，介绍旋转经典模型之一：手拉手模型.

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对应边相等

旋转：如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE.

结论:AB=AD,AC=AE,BC=DE.

引例1:如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为()

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

解析:由题意得:△ABC≌△ADE,

∴AB=AD,

又∠B=60°,∴△ABD是等边三角形,

∴BD=AB=2,

又BC=3.6,∴CD=1.6.

∴选A.

对应角相等

结论:∠B=∠D,∠C=∠E,∠BAC=∠DAE.

引例2:如图,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°,在同一平面内,将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE,连接EC,则tan∠DEC的值是.

解析:由题意得:∠EAC=70°,

∴∠AEC=∠ACE=55°,

又∠EAD=∠CAB=55°,

∴∠CAD=15°,

∵∠ACE+∠CAD=∠ADE+∠DEC,

∴∠DEC=45°,

∴tan∠DEC=1.

旋转角相等

结论:∠BAD=∠CAE=∠BFD.(尤其关注BC与DE夹角)

证明:由题意得:∠BAD=∠CAE,

∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D,且∠B=∠D,

∴∠BAD=∠BFD.

引例3:如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.

(1)如图1,连接BE、CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BP⊥CD;

(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE、CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积.

解析:(1)如下左图,△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠ACD,如下右图,由“8字”模型可得:∠FPC=∠FAB=90°.

(2)由(1)可知∠BPC=90°,

∵AD=3,AC=6,∴CD=35

∵∠BPC=∠ADC=90°,∴△CAD∽△CPE,

∴CACP=

∴PD=

∴△PDE的面积为27

手拉手模型

条件:如图,OA=OB,OC=OD(四线共点,两两相等),∠AOB=∠COD(夹角相等)

结论:△OAC≌△OBD(SAS)

引例4:如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;(③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论是(填序号)

解析：由手拉手模型可得①②正确，下分析③：

连接BD、EG,2a2+2b2=BD2+EG2,记BE、DG交点为H点,

BD2=BH2+DH2,EG2=EH2+GH2,

DE2=DH2+EH2,BG2=BH2+GH2,

∴DE2+BG2=BD2+EG2,∴DE2+BG2=2a2+2b2.

模型拓展

手拉手模型中的相似：

已知△ABC≌△ADE外,则△ABD和△ACE均为等腰三角形，且有ABDACE,AB

引例5:如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边BC交CD边于点G.连接BB、CC.若AD=7,CG=4,AB=BG,则CC

解析:连接AC、AC,则ABB～ACC

AG2=A

代入得：x2+x2=72+

解得：x?=5,x?=?13(舍),

∴

模型构造

所谓构造手拉手模型，实则构造旋转，结合已知条件，添加辅助线构造旋转型全等，得角或线段间的数量关系.

引例6:如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.

【问题解决】

如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;

【类比探究】

如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE、CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.

解析:(1)如图,过点E作EG∥AB交BC于点G,则△CEG是等边三角形，

可得:△EGD≌△ECF,∴DG=CF,CG=CE,∴CD=CG+GD=CE+DF,即CE+CF=CD.

(2)如图,过点E作EG∥AB交BC于点G,则△CEG是等边三角形，

可得:△EGD≌△ECF,∴DG=CF,C