第04讲 二次函数的性质综合（4种题型）（原卷版）.pdfVIP

第04讲二次函数的性质综合（4种题型）

【知识梳理】

一．二次函数的性质

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二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，

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二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

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①当a＞0时，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；

x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线

的最低点．

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②当a＜0时，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；

x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线

的最高点．

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③抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax的图象向右或向左平移|﹣|个单

位，再向上或向下平移||个单位得到的．

二．二次函数图象上点的坐标特征

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二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．

①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足

函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x，0），（x，0），则其

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对称轴为x＝．

三．二次函数的最值

（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增

大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．

（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增

大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最

值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函

数值，比较这些函数值，从而获得最值．

四．待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

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①一般式：y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）+k（a，h，

k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x）（x﹣x）（a，b，c

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是常数，a≠0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系

式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列

三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

五．二次函数的三种形式

二次函数的解析式有三种常见形式：

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①一般式：y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道

抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；

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②顶点式：y＝a（x﹣h）+k（a，h，k是常数，a≠