专题06以抛物线为情境的定值问题—抛物线必会十大基本题型讲与练（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docx

抛物线必会十大基本题型讲与练

06以抛物线为情景的定值问题

典例分析

类型一、有关斜率的定值问题

1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，，记直线、的斜率分别为、，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值.

【详解】

已知抛物线的焦点为，

若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意.

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

由以及直线的斜率存在可知，，

联立可得，，由韦达定理可得，，

所以，

.

2．已知抛物线，过点作两条斜率为，的直线与抛物线的准线分别相交于点，．分别过，作的垂线交抛物线于点，，当时，则点到直线的距离的最大值是（???????）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设，，直线，与抛物线联立，得到韦达定理，由求得a的值.则直线过定点，则到直线的最大距离即MN.

【详解】

设，，直线，由，得．则．

，∴，得．∴直线过定点，则到直线的距离．当，即，或，时取等号．

3．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且.

(1)求的方程；

(2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，为定值.证明：，且为定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析

【分析】

（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；

（2）由已知，分别设出，，，四点坐标，然后利用坐标分别表示出和的方程，然后将点代入方程，从而得到等量关系，然后代入到斜率的表达式中即可证明.

【解析】

(1)由已知，，，则，代入抛物线可得：.

(2)设，，，，则：，整理得，代入，可知，则

同理可得，，则

设，的中点分别为，，则，

则

则

4．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O．

(1)求E的方程；

(2)连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．

【答案】(1)

(2)是定值，

【分析】

（1）根据题意，设直线方程为，联立方程组，得出，，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，所以，即可求出的值，进而求出E的方程；

（2）再次联立方程组，表示出和，由（1）知，代入可求得为定值.

【解析】

(1)由题知，直线l的斜率不为0，可设其方程为，，，联立，得，所以，，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，即，所以，即，将代入，解得．所以E的方程为；

(2)设，，直线AF的方程为，联立，得，

所以，即，同理，即，，

同理，由（1）知，所以．

类型二、有关线段长度的定值问题

1．已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（）

A． B．1 C．2 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设直线MN的方程，与抛物线联立切线两根之和，进而求出MN的中点Q的坐标，再由抛物线的性质可得弦长|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一个定值，求出定值m．

【详解】

由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线的方程为：x，由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为：x＝ty，设t＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：，

所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（t1+y2）+p＝2pt2+p，所以MN的中点Q（pt2，pt），

由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p（1+t2），|QF|pt，

由直线MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由题意在Rt△QFP中，|PF|p（1+t2），所以为定值，所以m的值为，

2．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，设四点横坐标为，根据题意和抛物线的定义可得、，联立直线方程和抛物线方程，消y得出关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得，进而得出结果.

【详解】

如图，

分别设四点横坐标为，由得焦点，准线，

由定义得，，又，所以，同理：由消去y整理得，设，则，即.

3．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

设直线的标准参数方程（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程应用韦达定理，利用计算可求解．

【详解】

设直线