专题10以双曲线为情境的探索性问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docxVIP

双曲线必会十大基本题型讲与练

10以双曲线的为情境的探索性问题

典例分析

类型一：探索定值的存在性

1．已知为坐标原点，椭圆：的焦距为，直线截圆：与椭圆所得的弦长之比为，椭圆与轴正半轴的交点分别为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，.试判断是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是，定值为4

【分析】

（1）由焦距可知c的值，直线截圆：的弦长是2a，截椭圆的弦长由直线和椭圆方程联立，利用韦达定理可以求出，根据两段弦长之比为可以求出a，即得；（2）A点坐标是椭圆与轴正半轴的交点，可以由（1）得出，点关于轴的对称点为，分别求出直线AB和直线AC的方程，可得两直线与x轴的交点M，N的坐标，最后得出为定值。

【详解】（1）依题意：，，直线与圆相交弦长为直径.

又∵，∴弦长为，

∴有.又，∴求得，.∴椭圆的标准方程：.

由（1）可知，点的坐标为，直线的方程为，令，得.因为点关于轴的对称点为，所以.所以直线的方程为，

令，得.∵.又∵点在椭圆上，

所以，即.∴是定值，定值为4.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，运用韦达定理求椭圆标准方程，以及判断两个变量的乘积为定值，是一道椭圆综合题目。

2．设双曲线C：，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.

（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；

（2）直线l交直线于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论.

【答案】（1）；（2）是定值，证明见解析.

【分析】

(1)由已知可得直线l斜率不为0，设其方程为，联立方程组化简，由直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，可得方程有两个不同的解，设，则，，列方程求m的范围，由此可求倾斜角的取值范围，

(2)求点P的坐标，利用(1)的结论化简可证为定值.

【详解】（1）由双曲线得，则右焦点，显然直线的斜率不为0，

设直线的方程为，由得

因为直线与双曲线的右支交于两点，设，

，则

解得，

当时，直线倾斜角，

当时，直线的斜率或，

综上，直线倾斜角的取值范围为.

（2）由得不妨假设，则

，又，代入上式，得

所以为定值1.

【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

3．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.

（1）求的取值范围，并求的最小值；

（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.

【答案】（1）的取值范围为；取最小值；（2）是定值；证明见解析.

【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围，根据韦达定理以及可得最小值；

（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.

【详解】（1）与圆相切，，，由，得，

，，故的取值范围为.

由于，

，当时，即时，取最小值.

（2）由已知可得的坐标分别为，，

，又因为，所以，

为定值.

【点睛】本题考查了直线与圆相切，考查了直线与双曲线相交，考查了斜率公式、韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.

类型二：探索参数的存在性

1．设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．

（1）为何值时，以为直径的圆过原点？

（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【分析】（1）将直线方程与双曲线方程联立消去y，由根与系数的关系得到两根关系，再根据以为直径的圆过原点，得到，进而得到两点坐标间的关系，进而解出答案；

（2）先假设存在，利用得到的比值，然后利用化简得到两点的坐标关系，进而得到答案.

【详解】（1）由，消去整理得.

依题意得，，∴且，设，，由根与系数的关系得：，，又以为直径的圆过原点，所以，即，

，则，所以．

（2）假设存在实数满足条件．∵，，∴，．

又，故，即，

所以，∴，故存在实数满足题意．

2．已知，，

（1）求点的轨迹C的方程；

（2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.

（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由得，结合，可求出轨迹方程；（2）联立直线与曲线方程，得到韦达定理，由判别式大于0，且，解出k的范围；（3）假设存在点M，则，结合韦达定理得到方程，解出k即可.

【详解】（1）由，得，即

又，，所以，即，故所求的轨迹方