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第2章插值法;2.1引言;（1.2）;从几何上看，插值法就是确定曲线，使其通过
给定的个点，并用它近似已知曲线
.;由此可以得到关于系数的元线性方程组;〔1.4〕;因此线性方程组〔1.4〕的解存在且唯一.;2.2.1线性插值与抛物插值;其几何意义就是通过两点的直线.;由的几何意义可得到表达式;称及为线性插值基函数，;图2-3;下面讨论的情形.;接下来讨论满足〔2.4〕的插值基函数的求法，;同理;图2-4;利用，，，;2.2.2拉格朗日插值多项式;定义1假设次多项式在个节点
上满足条件;显然它满足条件〔2.7〕.;由的定义，知;于是公式〔2.9〕可改写成;定理2设在上连续，在内
存在，节点是满足条件(2.6)
的插值多项式，那么对任何，插值余项;证明由给定条件知在节点
上为零，即，于是;根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，
故在内至少有个零点.;于是;当时，线性插值余项为;利用余项表达式〔2.12〕，当时，由于,于是有;利用余项表达式〔2.12〕还可知，假设被插函数
由于，故，即它的插值多项式;例1证明，其中是关于点
的插值基函数.;用线性插值计算，取由公式〔2.1〕;2024/12/29;由〔2.15〕,其截断误差;用抛物插值计算，由公式〔2.5〕得;由〔2.14〕,;2024/12/29;例2设，试证;2.3均差与牛顿插值公式;当时，记线性插值多项式为，插值条件为;插值多项式;一般情况，在插值点上的值为，要求次插值多项式满足条件;称为函数关
于点的一阶均差.;（3.3）;均差有如下的根本性质：;〔3〕假设在上存在阶导数，且节点;均差计??可列均差表如下〔表2-1〕.;2.3.3牛顿插值公式;根据均差定义，把看成上一点，;只要把后一式依次代入前一式，就得到;（3.7）;但（3.7）更有一般性，它在是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的.;首先根据给定函数表造出均差表.;从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0.;截断误差;2.3.4差分形式的牛顿插值公式;为了表示方便，再引入两个常用算子符号;反之，由;（3.11）;由给定函数表计算差分可由以下形式差分表给出.;在牛顿插值公式〔3.6〕中，用〔3.11〕的差分代替均差，
并令，那么得;给出在;取;由〔3.14〕可得误差估计;2.4埃尔米特插值;关于均差，有;类似地可定义重节点的二阶均差，当时，有;在牛顿均差插值多项式中假设令那么由〔4.1〕可得泰勒多项式;（4.4）;由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式.;待定常数，可由条件
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