第07讲 5.4.3正切函数的性质与图象（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）（解析版）-A4.docxVIP

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第07讲5.4.3正切函数的性质与图象

课程标准

学习目标

①理解与掌握正切函数的性质，并能运

用正切函数的性质解决与正切函数相关的周期性、奇偶性，定义域、值域、单调性等问题。

②掌握正切函数的图象的画法，会运用正切函数的图象研究正切函数的性质，并能解决与正切函数有关的相关量问题。

会运用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调性及值域等问题.

知识点01：正切函数的图象

【即学即练1】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据f1

【详解】因为函数（）

所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项；

又，故排除D选项，故选B符合.

故选：B.

知识点02：正切（型）函数的性质

正切函数

正切型函数

定义域

由

值域

周期性

奇偶性

奇函数

当时是奇函数

单调性

在，上单调递增

当,时，由，解出单调增区间

对称性

对称中心：；无对称轴

令：，对称中心为：，无对称轴

【即学即练2】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．在定义域内是增函数 B．是奇函数

C．的最小正周期是π D．图像的对称中心是，

【答案】D

【分析】根据题意结合正切函数性质逐项分析判断.

【详解】对于选项AC：因为的最小正周期是，可知在定义域内不单调，故AC错误；

对于选项B：，可知不是奇函数，故B错误；

对于选项D：令，解得，

所以图像的对称中心是，，故D正确；

故选：D.

题型01正切函数的定义域

【典例1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域.

【详解】由正切函数的定义域，令，即，

所以函数的定义域为.

故选：C.

【典例2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域．

【答案】

【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得.

【详解】函数有意义，则，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

【变式1】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为．

【答案】/

【分析】根据正切函数的定义域，列式求解.

【详解】由题意可知，，，

所以.

故答案为：

【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为.

【答案】.

【分析】根据题意，利用正切函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数，则满足，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

题型02正切函数的值域

【典例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可.

【详解】

故选：C.

【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在，上的最小值、最大值分别为1和7，求m和n的值.

【答案】或.

【分析】根据的正负分类讨论，利用函数的单调性分别表达出最值关系式，解方程组可得.

【详解】正切函数在，单调递增，

且，，

由题意函数最小值、最大值分别为1和7，可知，

①当时，函数在，单调递增，

，解得；

②当时，函数在，单调递减，

即.

综上所述，或.

【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）函数的值域是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域．

【详解】∵，∴.

∵在上是单调递增的．

即

∴函数的值域为.

故选：C

【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为.

【答案】/

【分析】利用正切函数单调性求出最大值作答.

【详解】函数在上单调递增，则当时，，

因此，解得，

所以实数a为.

故答案为：

题型03求正切函数的单调区间

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）的单调递减区间为.

【答案】

【分析】化简函数为，由正切函数的性质可求得函数的单调递减区间.

【详解】函数，

由正切函数的性质知，

解得

所以函数的单调递减区间为

故答案为：

【典例2】（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间：

(1)；

(2).

【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间

(2)单调递减区间为，，无单调递增区间

【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得；

（2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得.

【详解】（1）由题意得，，

解得，

所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区