第19讲 三角函数的概念及同角三角函数的基本关系（八大考点）（解析版）-A4.docxVIP

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第19讲三角函数的概念及同角三角函数的基本关系

学习目标：

1．能用三角函数的定义进行计算，熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．

2．能通过三角函数的定义推导并理解同角三角函数的基本关系式．

3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

重点难点：

重点：三角函数的定义；诱导公式一；同角三角函数的基本关系

难点：三角函数的对应关系；三角函数符号的含义；三角函数的内在联系性

一、三角函数的概念

1．任意角的三角函数的定义

前提

如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点

定义

正弦

点的纵坐标叫做的正弦，记作，即

余弦

点的横坐标叫做的正弦，记作，即

正切

把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即

三角

函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为

正弦函数；余弦函数

正切函数

温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角．

（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定．

2．三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；

余弦：一四象限正，二三象限负；

正切：一三象限正，二四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦

3.诱导公式一

其中.

二、同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系:.

（2）商数关系:.

这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.

温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立.

（3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦.

（4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立.

考点01坐标法与三角函数值

1．已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（???）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【详解】因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，

所以.

故选：C.

2．已知角的终边与单位圆的交点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为角的终边与单位圆的交点，

令，

所以，

所以，

故选：A.

3．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（???）

A．和 B． C． D．

【答案】B

【详解】由三角函数的定义可得，则，

整理可得，因为，解得

故选：B.

4．（多选）已知角的终边与单位圆交于点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】角的终边与单位圆交于点，

，，，

当时，；

当时，．

故选：AC.

5．已知点是角终边上一点，若，则.

【答案】

【详解】，又，

解得：，

所以，

故答案为：

6．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则．

【答案】

【详解】根据正切函数的定义知：.

故答案为：

7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则.

【答案】/-0.2

【详解】由题可知，，

所以

故答案为：

考点02三角函数值在各象限的符号问题

8．若，则为（????）.

A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角

【答案】A

【详解】由可知，同号，

所以为第一象限的角和第四象限的角，

故选：A.

9．已知，则角的终边所在的象限为第（????）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】C

【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限.

故选：C.

10．已知，且，则角的终边位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】因为，且,所以，即角的终边位于第四象限.

故选:D.

11．已知点在第三象限，则角在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.

故选：D.

12．若，且，则角是（????）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【详解】由，，得，，

因此，所以角是第四象限角.

故选：D

13．（多选）下列选项中，结果为正数的有（???）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】因为，所以.

故选：AC.

14．确定下列各三角函数值的符号：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【详解】（1）因为