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饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结：

本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多

的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。

第1章数值分析与科学计算引论：

绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字

则是描述近似值精度的一种方式。其中，相对误差限是绝对误

差的上界。有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是

某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就

说x*共有n位有效数字。一个比较好用的公式是f(x)的误差限：

f(x)f(x)(x)。

第2章插值法：

插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。三次样

条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需

饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》

要根据实际情况而定。确定n+1个节点的三次样条插值函数

需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩

法可以用来求解三次样条表达式。

第3章函数逼近与快速傅里叶变换：

带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的

多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。切比雪

夫多项式也有其独特的性质。用切比雪夫多项式零点做插值点

得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。最小二乘拟合的

法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法

方程。

第4章数值积分与数值微分：

XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中

的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。

勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被

称为XXX让德求积公式。

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中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：

插值型的求导公式有两点公式和三点公式。

第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩

阵的推导过程。相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找

到。

第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收

敛的条件如下：

第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿

法是一种常见的方法。对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局

部二阶收敛的。

简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。

第8章介绍了矩阵特征值计算，其中幂法是一种常用的方

法。利用原点平移方法可以加速幂法的收敛。

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第9章介绍了常微分方程初值问题的数值解法。相关例题

可以参考附录。