易错易混09 平面向量及其应用2025年高考一轮复习(解析).docxVIP

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专题09平面向量及其应用

易混易错

易错点1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。

【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（????）

A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线

C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】ACD

【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；

对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；

对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；

对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，

因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．故选：ACD．

易错点2忽视两个向量成为基底的条件

点拨：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

【典例1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（????）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】C

【解析】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；

对B：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；

对C：对和，因为是不共线的两个非零向量，

且存在实数，使得，故和共线，不可作基底；

对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.故选：C.

【典例2】（23-24高三上·福建·阶段练习）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【解析】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，

因为，，，

则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.故选：ACD

易错点3错误使用向量平行的等价条件

点拨：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。

【典例1】（2024·青海海西·模拟预测）已知向量，，若，则（????）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【解析】若，有，解得．故选：B．

【典例2】（2024·陕西渭南·二模）已知向量，，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，则，解得或2，

故“”是“”的充分不必要条件.故选：A

易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果

点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的运算时不可约公因式。

【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；

B：与共线，与共线，而与不一定共线，

所以不一定成立，因此本选项不一定成立；

C：，所以本选项一定成立；

D：当时，，所以本选项不一定成立，故选：AC

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）（多选）设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（????）

A．

B．

C．不与垂直

D．

【答案】BD

【解析】由于是不共线的向量，因此的结果应为向量，故A错误；

由于不共线，故构成三角形，因此B正确；

由于，故C中两向量垂直，故C错误；

根据向量数量积的运算可以得，故D是正确的.故选：BD.

易错点5确定向量夹角时忽略向量的方向

点拨：错误理解向量的夹角，在使用求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。

【典例1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知是边长为4的正三角形，则（????）

A．8 B． C． D．

【答案】C

【解析】正的边长为4，则.故选：C

易错点6忽视两向量夹角的取值范围

点拨：向量的夹角范围是从，解题时易忽略夹角为0和夹角为的情况。

【典例1】（23-24高三上·山东聊城·期末）