3.2.1+双曲线的标准方程【知识精研】高二数学同步课堂（湘教版2019选择性必修第一册）.pptx

湘教版2019高一数学（选修一）第三章圆锥曲线与方程3.2.1双曲线的标准方程

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结随堂检测错因分析

学习目标01理解双曲线的定义并掌握双曲线的标准方程（重点）02会用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程（重点）03双曲线标准方程的推导（难点）

如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?情景导入

1．取一条拉链并拉开一部分；2．将拉链拉开两头按一长一短固定在两点F1和F2处；(注意：拉链两边的长度之差小于|F1F2|)3．将让笔尖放在拉链张开处P点，慢慢拉开拉链，使笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；4．再把拉链两边交换位置分别固定在F1和F2处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．新知探究

画双曲线实验

通过刚才的实验画出的图像就是双曲线，它由两条曲线组成，其中一条叫作双曲线的一支．双曲线由这两支共同组成．一条满足|PF1|－|PF2|=|F2F|=2a；另一条满足|PF2|－|PF1|=|F1F|=2a．整个实验过程我们可以发现细绳两端始终固定在两个定点F1、F2上，而且动点P到两定点F1、F2的距离之差始终保持不变，等于拉链原长短边的长度之差．FF2F1P我们根据这个几何性质来得出双曲线的定义．

平面上到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线．两个定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距．双曲线的定义:双曲线的定义中特别强调了：（1）常数小于|F1F2|，即||PF1|－|PF2|||F1F2|时，点P的轨迹才是双曲线．（2）“之差的绝对值”：没有绝对值只能表示双曲线的一支．|PF1|－|PF2|=2a：表示靠近F2的一支．|PF2|－|PF1|=2a：表示靠近F1的一支．

如果动点P满足到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为一个常数，且该常数小于两定点间的距离，即||PF1|－|PF2||=2a|F1F2|（a为大于零的常数），那么动点P的轨迹是双曲线．如果||PF1|－|PF2||=|F1F2|，那么动点P的轨迹是什么？如果||PF1|－|PF2|||F1F2|，那么动点P的轨迹是什么？表示以为F1、F2端点的两条射线．

[问题]：根据双曲线的定义如何用坐标法来探究双曲线的标准方程呢？（一）建立平面直角坐标系如图，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设双曲线的焦距|F1F2|=2c，双曲线上的点与两定点的距离之差的绝对值为2a(a0)，则F1、F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．（二）设曲线上任意一点（或动点）的坐标为(x，y)设P(x，y)为双曲线上任意一点．

（三）找出限制动点的几何条件因为||PF1|－|PF2||=2a，即|PF1|－|PF2|=±2a，（四）将坐标代入几何关系所以（五）化简式子由双曲线的定义知2c2a，即ca，所以c2－a20．设c2－a2=b2(b0)，则b2x2－a2y2=a2b2，上式两边同时除以a2b2，得

这称为双曲线的标准方程，它所表示的双曲线焦点在x轴上．坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，c2=a2＋b2．而双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a．若果双曲线焦点在y轴上，坐标分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(2a2c)．则双曲线的方程为：

焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为：焦点在x轴上：焦点在y轴上：双曲线的标准方程的特点：（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；（2）三个参数a、b、c满足c2=a2＋b2；（3）系数为正的项的分母是a2，系数为负的项的分母就是b2；（4）x2与y2哪