专题2 运气——极值点偏移“一阳指”（教师版）-极值点偏移专题.docx

极值点偏移“一阳指”

一阳指为大理段氏一脉中最高武学六脉神剑的入门功夫，其本源是将含于指尖的内力隔空激发出去，使其以极高速在空中运动的一门技术。

解决极值点偏移问题，有一个非常常用的方法便是“极值点偏移的判定定理”，本节重点介绍该定理及其应用。

极值点偏移的判定定理

对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；

（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；

（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）

左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）

运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造一元差函数；

（3）确定函数的单调性；

（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

假设此处在上单调递减，在上单调递增.

（2）构造；

注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.

（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；

假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.

（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；

接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.

（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.

【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.

对点详析，利器显锋芒

★已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若，且，证明：.

∵，∴，在上单调递增，∴，∴.

★函数与直线交于、两点.

证明：.

★已知函数，若，且，证明：.

【解析】由函数单调性可知：若，则必有，。

所以，

而，

令，则

所以函数在为减函数，所以，

所以即，所以，所以.

★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.

内练精气神，外练手眼身

★【2019湖南郴州二中月考】已知函数f(x)=lnx+12a

(1)若a=_?，b=1，求函数f(x)的单调区间；

(2)设F(x)=f(x)__(x)．

(i)若函数F(x)有极值，求实数a的取值范围；

(ii)若F(x1)=F(x2

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】(1)当a=?2，b=1时，f(x)=lnx?x

f

令f(x)0，得0x1；令f

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)．

(2)(i)F(x)=f(x)?g(x)=lnx+

F

①当a_?时，F(x)0，函数

不存在极值．

②当a0时，令F(x)=0，得ax

所以F(x)=a(x+x0

在上为减函数，所以当x=x0时，F(x)取得极大值F(

所以若函数F(x)有极值，实数a的取值范围是(?_?0)．

(ii)由(i)知当a_?时，不存在，使得F(x1)=F(x2)，当a0时，存在，使得

欲证x1+x

因为函数F(x)在上为减函数，故只需证F(x2

即证F(x1)F(2

令_(x)=F(x)?F(2x

则．

设?(x)=_(x)

因为0xx0，?(x)0，所以

，

所以在(0,x0)上为增函数，所以

即F(x1)?F(2

★【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(a为常数)，曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线与x轴平行．

(1)求a的值及函数的单调区间；

(2)若存在不相等的实数x1,x2使成立，试比较x

【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．（2）x1＋x2＜2ln2

【解析】(1)由fx

得．且f(x)与y轴交于A(0.0)

所以，所以a=2，

所以f_?//(x)=e

由＞0，得x＞ln2．

所以函数在区间(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．

(2)证明：设x＞ln2，所以2ln2－x＜ln2，

f_?//(2ln2－x)＝e(2ln2－x)