专题04 以双曲线为情境的最值或范围问题（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docx

双曲线必会十大基本题型讲与练

04以双曲线为情境的最值或范围问题

典例分析

类型一：数形结合解决与双曲线交汇的最值问题

1．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

2．已知点A在双曲线C：（b0）上，且双曲线C的上?下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（???????）

A． B． C． D．

3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（?????）.

A．4 B．5 C．6 D．3

类型二：双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题

1．已知双曲线：的左?右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(???????)

A． B． C． D．

2．设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（???????）

A．4 B．8 C．16 D．32

3．已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

4．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（??）

A．20 B．22 C．24 D．25

类型三：利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题

1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（???????）

A．B．C．D．

2．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．

3．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.

4．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.

类型四：利用函数思想解决与双曲线有关最值或范围问题

1．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

2．已知实数满足，则的取值范围是____________

3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________．

4．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.

(1)若的面积为，求直线AB的方程；

(2)若AB与双曲线的左?右两支分别交于Q，R，求的范围.

方法点拨

求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法

(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．

(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．

(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．

巩固练习

1．已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（???????）

A．B．C．D．

2．已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

4．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M?Q，则的最大值为（???????）

A．48 B．49 C．50 D．42

4．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相