专题05 以双曲线为情境的中点弦问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docx

双曲线必会十大基本题型讲与练

05以双曲线为情境的中点弦问题

典例分析

一、求中点弦所在直线的方程

1．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】运用点差法即可求解

【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.

又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.经检验满足题意

2．已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.

【答案】

【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值．

【详解】设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.

3．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.

【答案】

【分析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程．

【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，

，两式相减可得：，因为为的中点，

，，，则，

所以直线的方程为，即为．

4．双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.

(1)求C的方程；(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.

【答案】(1)；(2)

【分析】

（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.

（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.

【解析】(1)因为C的离心率为2，所以，可得.将代入

可得，由题设.解得，，，所以C的方程为.

(2)设，，则，.因此，即.因为线段AB的中点为，所以，

，从而，于是直线AB的方程是.

二、求中点弦所在直线的斜率

1．直线l交双曲线于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（???????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】

【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率，再验证作答.

【详解】设，，因点A，B在双曲线上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以直线l的斜率为1.

2．直线与双曲线的同一支相交于两点，线段的中点在直线上，则直线的斜率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，设出两点坐标，使用点差法，带入双曲线方程作差，化简即可完成求解.

【详解】设、，线段的中点，由已知，两点在双曲线上，所以x122?y12=1x222?y22=1，两式做差可得，点在直线

3．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为________．

【答案】

【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率.

【详解】设点、，则，即，由已知条件可得，两个等式作差得，即，即，

所以，直线的斜率为.

4．已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．

(1)求M的虚轴长．

(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，2

【分析】

（1）根据题意得出双曲线方程后求解；

（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.

【解析】(1)因为椭圆的焦点坐标为，所以可设M的方程为．

因为M与圆相切，所以，则，故M的虚轴长．

(2)由（1）知，M的方程为．设A，B两点的坐标分别为，，则

两式相减得，假设存在直线l满足题意．则所以，因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．

三、求中点弦的弦长

1．已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.

【详解】不妨设，，从而，，由两式相减可得，，又因为线段AB的中点为，从而，，

故，即直线AB的斜率为，直线AB的方程为：，即，

将代入可得，，从而，，

故.

2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M?N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.

【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲