专题05以抛物线为情境的面积问题——双抛物线必会十大基本题型讲与练（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docx

抛物线必会十大基本题型讲与练

05以抛物线为情景的面积问题

典例分析

类型一、以抛物线为情景的四边形面积问题

1．过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（???????）

A． B． C． D．

2．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________.

3．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．

（1）求抛物线的方程；（2）求矩形的面积．

类型二、以抛物线为情景的三角形面积问题

1．已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为.

(1)求实数p的值；

(2)求的面积.

2．已知抛物线C：（p0），过C的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，当⊥x轴时，|AB|=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)如图，过点F的另一条直线与C交于M、N两点，设，的斜率分别为，，若（），且，求直线的方程.

3．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求的值；

（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.

类型三、抛物线与椭圆交汇的面积问题

1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．

2．已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．

(1)求该抛物线的方程；

(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

类型四、抛物线与圆交汇的面积问题

1．已知焦点为的抛物线：，圆：，直线与抛物线相切于点，与圆相切于点．

（1）当直线的方程为时，求抛物线C1的方程；

（2）记分别为的面积，求的最小值．

2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线．

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)求△PAB的面积得最大值．

类型五、抛物线与双曲线交汇的面积问题

1．已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．

巩固练习

1．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（???????）

A． B．或 C． D．或

2．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若，，垂足为M，则面积的最大值为（???????）

A．6 B．3 C． D．

3．设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（???????）

A． B． C． D．

4．（多选题）如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连、并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为、．则下列说法正确的是（???????）

A．若记直线、的斜率分别为、，则的大小是定值

B．的面积是定值

C．线段、长度的平方和是定值

D．设，则

5．已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为3，则抛物线方程为____________，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为__________.

6．抛物线上一动点为，焦点，以为直径的圆设为圆，当圆面积取最小时，圆的方程是______.

7．直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与直线交于点，当为抛物线上位于线段下方（含）的动点时，则面积的最大值为______.

8．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．

9．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.

10．如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．