专题10圆（解析版）-A4.docx

第PAGE页

专题10圆的有关计算与证明

一、单选题

1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．

【详解】∵，为的中点，

∴

∵

∴

∵直线与相切，

∴，

∴

故选：A．

2．（2023·福建·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．

【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，

∵，

∴，

则，

故正十二边形的面积为，

圆的面积为，

用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．

3．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可．

【详解】解：连接OC，

CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，

∴∠CAD=2∠CAP，

∵OA=OC

∴∠OAC＝∠ACO，

∴∠COP＝2∠CAO

∴∠COP＝∠CAD

∵

∴OC=3

在Rt△COP中，OC=3，PC=4

∴OP=5．

∴==

故选：D．

【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．

4．（2020·福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（??）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．

【详解】∵为中点，

∴,

∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，

∵，

∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，

∵四边形内接于，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∴3∠ADB+60°=180°，

∴=40°，

故选：A．

【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．

二、填空题

5．（2020·福建·中考真题）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留）

【答案】

【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可求解．

【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，

∴扇形的面积是：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键．

三、解答题

6．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．

(1)求的值；

(2)求证：；

(3)求证：与互相平分．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果；

（2）过点作，交延长线于点，先证明，可得

，再证得，再由相似三角形的判定可得结论；

（3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，从而得出，得出，再上平行线判定得出，再证得，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．

【详解】（1），且是的直径，

．

，

在中，．

，

在中，．

，

；

（2）过点作，交延长线于点．

．

，

，

．

，

，

，

，，

．

，

，

，

．

（3）如图，连接．

是的直径，

．

，

．

由（2）知，，

，

，

．

．

，

．

由（2）知，，

．

，

，

，

四边形是平行四边形，

与互相平分．

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四