专题06以抛物线为情境的定值问题—抛物线必会十大基本题型讲与练（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docx

抛物线必会十大基本题型讲与练

06以抛物线为情景的定值问题

典例分析

类型一、有关斜率的定值问题

1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，，记直线、的斜率分别为、，则（???????）

A． B． C． D．

2．已知抛物线，过点作两条斜率为，的直线与抛物线的准线分别相交于点，．分别过，作的垂线交抛物线于点，，当时，则点到直线的距离的最大值是（???????）

A．1 B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且.

(1)求的方程；

(2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，为定值.证明：，且为定值.

4．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O．

(1)求E的方程；

(2)连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．

类型二、有关线段长度的定值问题

1．已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（）

A． B．1 C．2 D．

2．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（???????）

A． B．

C． D．

3．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于（???????）

A．－4 B．4 C．p2 D．－p2

类型二、有关线段长度的定值问题

1．（多选题）已知抛物线C：，过焦点F的直线交抛物线C于两点，直线，分别于直线m：相交于两点则下列说法正确的是（???????）

A．焦点F的坐标为

B．

C．的最小值为4

D．与的面积之比为定值

2．如图，已知抛物线上有一动点，M为y轴上的动点，设，连接与交于点B，过B作的切线交的延长线于点H，连接交C于点E，连接交y轴于点G，分别记的面积为.

(1)若，求p；

(2)若，求证：是之间的一个定值（不必求出定值）.

巩固练习

1．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（???????）

A．3 B． C．1 D．0

2．已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（???????）

A．为定值 B．为定值

C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为

3．（多选题）已知为抛物线的焦点，过直线上一动点作的两条切线，切点分别为、，则下列恒为定值的是（???????）

A． B． C． D．

4．（多选题）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则（???????）

A．为定值 B．为定值

C．为定值 D．为定值

5．（多选题）已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（?????）

A．焦点的坐标为 B．若，则过定点

C．若直线过点，则 D．若直线过点，则的最小值为16

6．（多选题）已知斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线C交，两点，则以下结论正确的是（???????）

A．若，则MN的中点到y轴的距离为6

B．对任意实数k，为定值

C．存在实数k，使得成立

D．若，则

7．（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（???????）

A．没有最大值也没有最小值 B．

C． D．

8．（多选题）已知P为抛物线C：上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（???????）

A．的最小值为4

B．若线段AB的中点为M，则的面积为

C．若，则直线l的斜率为2

D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值

9．已知抛物线，过焦点F且斜率为k的直线交此抛物线于A?B两点，点?分别为过两点A?B向直线作的垂线的垂足，则直线与直线斜率之积为___________.

10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则___________.

11．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则__________

12．已知过点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为_____．

13．已知曲线C的方程为，点D的坐标为，点P的坐标为．

(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；

(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1