第08讲 垂径定理（原卷版）.pdfVIP

第08讲垂径定理

【知识梳理】

一．垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

二．垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

【考点剖析】

一．垂径定理（共9小题）

1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于

M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（）

A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）

2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB

的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长

是（）

A．B．C．3D．

3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连

接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（）

A．4B．C．D．

4．（2023•杭州模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（）

A．9B．C．D．12

5．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（）

A．4cmB．8cmC．cmD．2cm

6．（2022秋•杭州期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．

（1）求证：AC＝BD．

（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．

7．（2023•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径

的长是（）

A．5B．4C．3D．2

8．（2023•天台县一模）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的动点，CP⊥AB交半圆于点C，已知AB

＝2，则OP+PC的最大值是．

9．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC

边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．

（1）求证：DF＝AB．

（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．

二．垂径定理的应用（共12小题）

10．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中

弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）

A．4B．5C．6D．7

11．（2023•杭州一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单

位：cm），则该铁球的直径为（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

12．（2023•金华模拟）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，