第10讲 圆内接四边形与正多边形（解析版）.pdf

第10讲圆内接四边形与正多边形

【知识梳理】

一．圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补．

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起

来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

二．正多边形和圆

（1）正多边形与圆的关系

把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边

形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．

（2）正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

【考点剖析】

一．圆内接四边形的性质（共15小题）

1．（2023•莲都区一模）圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝（）

A．20°B．30°C．70°D．110°

【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．

【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，

∴∠A+∠C＝180°，

∴∠C＝180°﹣70°＝110°．

故选：D．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．

2．（2023•龙游县校级一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）

A．70°B．110°C．130°D．140°

【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，

故选：B．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．

3．（2022秋•鄞州区期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则

∠D的度数是（）

A．80°B．100°C．110°D．120°

【分析】先根据圆内接四边形的性质列出方程求出∠B，再根据圆内接四边形的性质求出∠D．

【解答】解：设∠A为4x，则∠B为3x，∠C为5x，

∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，

∴4x+5x＝180°，

解得：x＝20°，

∴∠B＝3x＝60°，

∴∠D＝180°﹣60°＝120°，

故选：D．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

4．（2022秋•滨江区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是110°．

【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠A＝180°，

∴∠C＝180°﹣70°＝110°．

故答案为：110°．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等

于它的内对角．

5．（2022秋•慈溪市期末）已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为50°．

【分析】已知四边形ABCD内接于⊙O，得到∠A+∠C＝180°，已知∠A＝130°，∠C＝180°﹣∠A，

即可求得∠C的度数．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C＝180°，

∵∠A＝130°，

∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°．

故答案为：50°．

【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．

6．（2022秋•鄞州区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，

AB＝2，CD＝1，求AD的长．

【分析】延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得