专题08以双曲线为情境的几何证明（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docxVIP

双曲线必会十大基本题型讲与练

08以双曲线为情境的几何证明

典例分析

类型一：有关直线位置关系的证明

1．在平面直角坐标系中，已知双曲线．

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求M点的坐标；

（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】（1）求出双曲线的左焦点的坐标，设，利用求出的范围，推出的坐标；

（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积；

（3）设直线PQ的方程为，通过直线PQ与已知圆相切，得到，联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求解，进而证明.

【详解】（1）双曲线，左焦点，设，

则．由M是右支上一点知，∴，得．∴．

（2）左顶点，渐近线方程：．过A点与渐近线平行的直线方程为：，即．解方程组得

所求平行四边形的面积为．

（3）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，∴，即．（*）

由得，设、，由韦达定理得

．∴

，由（*）式知，∴．

2．已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点，且.

(1)求C的标准方程.

(2)已知l为C的准线，过F的直线交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.

【答案】(1)(2)证明见解析

【分析】（1）设出抛物线的方程，根据题意将代入，可得出答案.

（2）先求出点的坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，得出韦达定理，写出直线AM的方程，求出直线AM与准线的交点和直线BN与准线的交点，再证明交点的纵坐标相同即可.

【解析】(1)由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，则抛物线开口向右.

设抛物线C的标准方程为，则.由题意轴，则点的横坐标为

将代入，可得，由，则，所以抛物线C的标准方程为.

(2)证明：由（1）可知，.设直线的方程为，联立，则.

设，，则，.直线AM的方程为，，

令，解得；所以直线AM与准线的交点为

直线BN的方程为，即，

令，解得.所以直线BN与准线的交点为

因为，即

所以直线AM，BN和l相交于一点.

类型二：有关线段长度的证明

1．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．

(1)求双曲线C的离心率．

(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．

【答案】(1)2(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意得，进而得，再结合双曲线的定义得，再求离心力即可；（2）结合（1）得，设直线MN的方程为，，，，进而联立方程，结合韦达定理得MN的垂直平分线的方程为，P的坐标为，最后结合弦长公式求解即可.

【解析】(1)根据题意，A，B关于x轴对称，，所以．设A的横坐标为，则，所以，所以．所以，由双曲线的定义知，解得．因为，所以双曲线C的离心率．

(2)证明：由（1）知，，，所以双曲线C的方程为．

设直线MN的方程为，，，，

联立方程组，得，则，．

因为，，

因为过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，所以，解得，所以MN的中点坐标为．因为MN的垂直平分线的方程为，所以P的坐标为，所以．

因为，所以．

2．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由双曲线的性质得到渐近线方程，利用两直线垂直和点到直线的距离公式建立方程，再结合基本量之间的关系即可得到，值，从而得到双曲线的标准方程；

（2）先考虑直线的斜率不存在的情况，根据相关点的坐标得到两直线的方程，从而解得的坐标，进而利用点在的垂直平分线上得到结果，再考虑直线的斜率存在的情况，利用直线与双曲线的位置关系建立方程，结合根与系数的关系探究点的横坐标，从而得到结果．

【详解】（1）由题知双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的一条渐近线与直线：垂直，∴，即．设，∴，∴．∵，∴，∴，，故双曲线的标准方程为．

（2）由（1）可得，，．

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，结合双曲线的方程可得，

若，，则直线的方程为，直线的方程为，

由直线与直线的方程可得，∴点在直线上，又的垂直平分线为直线，∴．若，，则直线的方程为，直线的方程为，由直线与直线的方程可得，∴点在直线上，

又的垂直平分线为直线，∴．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

由题可知，联立，得，消去可得，

由直线与双曲线有两个交点，得，，．

∵直线的方程为，直线的方