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乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

抛物线的解析式的三种形式

抛物线的解析式有三种形式：

①一般式：（a≠0）；

②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；

③交点式：（a≠0），其中x，x是方程的两

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个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析

式。（试用两种不同的方法）

分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：

设二次函数的解析式为：

因为二次函数图像过点（1，0）

所以

所以

所以函数解析式为。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称

性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：

设二次函数的解析式为：，

因为二次函数图像过点（－2，3）

所以

所以函数解析式为。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一

般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可

从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式

获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不

如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得

线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在

本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得

的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－

3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4

∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

∴设二次函数的解析式为

∵二次函数过（－1，－4）

∴

∴a＝1

∴

点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图

像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来

解。不过这种方法计算量大一些。

例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点