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《向量的加法运算》题型突破

重难点突破

一、向量加法的三角形法则和平行四边形法则

1.在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和;向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”,即两个向量是从同一点出发的不共线向量.

2.三角形法则与平行四边形法则的适用条件

法则

适用条件

三角形法则

平行四边形法则

两向量的位置关系

两向量共线或不共线均可

只适用于两向量不共线的情况

两向量起点、终点的特点

一个向量的终点为另一个向量的起点

两向量起点相同

二、对向量加法的运算律的理解

1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律:一质点从点出发,①先走过的位移为向量,再走过的位移为向量,②先走过的位移为向量,再走过的位移为向量,则方案①②中质点一定会到达同一终点.

2.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行,如.

典型例题剖析

题型1向量加法运算法则的应用

例1如图,在中,分别是上的点,为线段延长线上一点,,连接,那么(在横线上只填上一个向量):

(1)_______;(2)________

(3)________.

解析:先由平行四边形的性质得到有关的相等向量,并进行代换,然后用三角形法则化简.如题图,由已知得四边形为平行四边形,由向量加法的运算法则可知:

答案:

(1)

(2)

(3)

方法技巧:

1.向量求和的注意点:

(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用;

(2)两个向量的和向量仍是一个向量;

(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.

2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共起点的“对角线”向量.

变式训练1(1)如图(1)所示,求作向量和;

(2)如图(2)所示,求作向量和.

解析:用向量的三角形法则或平行四边形法则作图.

答案:(1)首先作向量,然后作向量,则向量.如图所示.

(2)方法一(三角形法则):如图所示,首先在平面内任取一点,作向量,再作向量,则得向量,然后作向量,则向量,即为所求.

方法二(平行四边形法则):如图所示,首先在平面内任取一点,作向量,以为邻边作,连接,则.再以为邻边作,连接,则,即为所求.

题型2向量加法运算律的应用

例2如图,分别是梯形的边的中点,化简下列各式:

(1);

(2).

解析:根据向量加法的运算律使各向量首尾连接,调整向量的顺序后相加,同时注意中点条件的应用.

答案:(1);

(2).

方法技巧:

向量加法运算律的意义和应用原则:

(1)向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

(2)利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

变式训练2化简_______.

答案:0

点拨:.

题型3向量加法的实际应用

例3如图,用两根绳子把重的物体吊在水平杆子上,和处所受力的大小分别为_____和_____(绳子的重量忽略不计).

解析:如图所示,设分别表示所受的力,的重力用表示,则.

易得,

∴, .

∴处所受的力的大小为处所受的力的大小为.

答案:

变式训练3在静水中船速的大小为,水流的速度的大小为,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.

答案:作出图形,如图.船速与岸的方向成角,由图可知,结合已知条件,四边形为平行四边形.

在Rt中,,

,

∴,

∴,从而船行进的方向与水流方向的夹角为.

故船是与水流的方向成的方向行进的.

规律方法总结

1.向量加法的三角形法则与平行四边形法则的选择依据.

(1)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,当出现共线向量求和时,一般选择三角形法则;

(2)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单;

(3)在实际问题中选择平行四边形法则较多.

2.用向量的加法解决实际问题,一般步骤如下:

(1)由题意作出相对应的几何图形,用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量;

(2)利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加法运算;

(3)利用直角三角形的知识解决问题.

3.解决向量加法运算时应关注以下两点:

(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算;

(2)要灵活应用向量加法的运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.