三次样条插值算法详解.pptVIP

三弯矩法:待定二阶导数*1选择二阶导数作为待定参数:2由于三次样条S(x)是三次多项式,故它的二阶导数是一次多项式,从而3思考:(1)的原因?从而推导出了三次样条S(x)在第k个小区间[xk,xk+1]上的表达式为:01它的系数都是用二阶导数与函数值表示!02确定二阶导数*对所有中间节点xk,k=1,2,…,n-1,左边小区间与右边小区间上的三次多项式的一阶导数应当连续!三弯矩法基本方程*注意到这个基本方程只包括了n-1个方程!但却有n个二阶导数需要待定,这是一个欠定方程组,还需要根据边界条件再确定两个方程!曲率调整样条*这样从三弯矩基本方程可以导数确定其它n-2个待定参数的方程组:02这种样条的边界条件是已知两端点的二阶导数值!01自然样条这种样条的边界条件是:已知两端点的二阶导数值为0!这样从三弯矩基本方程可以导数确定其它n-2个待定参数的方程组:固支样条01这种样条的边界条件是:已知两端点的一阶导数值!02根据前面推导过程中得到的样条函数S(x)的一阶导数的表达式(2.11),得方程03固支样条01这样从三弯矩基本方程可以导数确定n个待定参数的方程组:02对表达式(2.9)再求一次导数得方程这种样条的边界条件是:要求样条S(x)在开始的两个小区间[x0,x1],[x1,x2]上的三阶导数相同,在最后两个小区间[xn-2,xn-1],[xn-1,xn]上的三阶导数相同.非扭结样条非扭结样条再由三弯矩基本方程,可得周期样条这些条件可以确定如下两个方程:这种样条的边界条件是:要求样条S(x)及其导数是以区间长度xn-x0为周期的函数即周期样条*再由三弯矩基本方程,可得MATLAB中三次样条函数法实现*在Matlab中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第1个和第2个三次多项式的三阶导数相等，对最后一个和倒数第2个三次多项式也做同样地处理。Matlab中三次样条插值也有现成的函数： y=interp1(x0,y0,x,spline)； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds), pp=csape(x0,y0,conds,valconds)， y=ppval(pp,x)。 其中x0,y0是已知数据点，x是插值点，y是插值点的函数值。对于三次样条插值，我们提倡使用函数csape，csape的返回值是pp形式，要求插值点的近似函数值，必须调用函数ppval。三次样条插值*鉴于高次插值不收敛又不稳定的特点，低次插值既具有收敛性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一阶导数不存在；分段三次Hermite插值多项式在插值区间中仅具有一阶导数即一阶光滑性但不具备二阶光滑性，不能满足某些实际应用比如汽车、轮船、飞机等的外形中流线形设计。样条是在二十世纪初期经常用于图样设计的一种富有弹性的细长条，多个样条互相弯曲连接后沿其边缘画出的曲线就是三次样条曲线。后来数学上对其进行了抽象，定义了m次样条函数，并成为数值逼近的重要研究分枝，进一步扩大了样条函数的应用范围。样条函数的定义*定义4.1设区间[a,b]上给定一个节点划分a=x0x1……xn-1xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足如下两条：在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。三次样条插值函数的定义*并且关于这个节点集的三次样条函数s(x)满足插值条件：01则称这个三次样条函数s(x)为三次样条插值函数。02三次样条插值函数的边界条件*插值条件：一阶导数连续条件：连续性条件：二阶导数连续条件：因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多项式，故有四个未知系数；01因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！02但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用边界条件给出！03通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:1第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即 2第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即 特殊情况为自然边界条件：由区间端点处的二阶导数恒为0给出即 第三类又称周期边界条件：*由区间端点处的函数值或导数值满足周期条件给出 这样三次样条插值问题就分成