专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲（教师版）.docx

专题3.7双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲

1．双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2．双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3．双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

4．双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.

5．双曲线中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【题型1曲线方程与双曲线】

【方法点拨】

根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.

【例1】（2022·四川南充·三模（理））设θ∈0,2π，则“方程x2

A．θ∈0,π

C．θ∈π,3

【变式1-1】（2021·山东·高三开学考试）命题p：“3m5”是命题q：“曲线x2m?3?

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）若方程x22+m?y2

A．?2m2 B．m?2 C．m≥0 D．m≥2

【变式1-3】（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为x2k+1+y25?k=1k∈R，若曲线

A．?1k5 B．k5 C．k?1 D．k≠?1或5

【题型2利用双曲线的定义解题】

【方法点拨】

理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线

的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三

角形问题.

【例2】（2022·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线C:x29?y27=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线

A．13 B．11 C．1或11 D．11或13

【变式2-1】（2022·河南·一模（理））已知P为圆C：(x?5)2+y2=36上任意一点，A(?5,0)，若线段PA的垂直平分线交直线PC

A．x29+

C．x29?y216=1（x0

【变式2-2】（2022·全国·高二课时练习）已知F为双曲线C:x24?y29=1的左焦点，P,Q为双曲线C同一支上的两点．若|PQ|=12，点

A．25 B．16 C．32 D．40

【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）P是双曲线x29?y216=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2

A．6 B．7 C．8 D．9

【题型3双曲线的标准方程的求解及应用】

【方法点拨】

(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定的值).要特

别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.

(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，

然后求解，有必要时，要注意分焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为F10,?5，F20,5，双曲线上一点P与F1

A．x29?y216=1 B．

【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：y2a2?x2b2=1

A．y264?

C．y29?

【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C:x2a2?y2b2=1（a0，

A．x29?y2=1 B．x

【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点F1,F2分别是等轴双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0

A．x22?y22=1 B．

【题型4双曲线的渐近线方程】

【方法点拨】

根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用

渐近线方程的公式求解.

【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线y2a2

A．x±4y=0 B．4x±y=0

C．x±2y=0 D．2x±y=0

【变式4-1】（20