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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义和标准方程（2）说课稿湘教版选修1-1

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教学内容

本节课的教学内容为高中数学湘教版选修1-1教材第2章圆锥曲线与方程中的2.2.1节——双曲线的定义和标准方程（2）。本节课将深入讲解双曲线的几何定义及其标准方程的推导过程。具体内容包括：

1.双曲线的定义及其几何特征。

2.双曲线标准方程的推导。

3.双曲线标准方程的应用实例。

核心素养目标

1.让学生通过探索双曲线的定义和标准方程，发展学生的逻辑思维能力和数学抽象素养。

2.通过解决实际问题，培养学生的数学建模和数学应用能力。

3.在双曲线标准方程的推导过程中，提升学生的数学推理素养和空间想象能力。

学习者分析

1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在之前的学习中已经了解了椭圆的定义和标准方程，掌握了坐标系中的两点距离公式和点到直线的距离公式，对二次函数的性质有一定了解，这些都为学习双曲线的定义和标准方程奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中生普遍对探索几何图形的内在规律感兴趣，他们具备一定的逻辑思维能力和数学抽象能力，喜欢通过实际操作和探究活动来学习新知识。学生在学习风格上可能更倾向于直观演示和问题解决，对于理论推导可能需要更多的引导和启发。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

-对双曲线几何定义的理解可能较为抽象，需要借助图形和实例来辅助理解。

-双曲线标准方程的推导过程中涉及复杂的代数运算，学生可能在此环节遇到困难。

-将双曲线标准方程应用于解决实际问题时，学生可能难以建立数学模型，需要教师在教学中提供适当的引导和练习。

教学资源

-硬件资源：多媒体投影仪、电子白板、计算机

-软件资源：数学教学软件（如几何画板）、PPT演示文稿

-课程平台：学校教学管理系统

-信息化资源：数学教学视频、在线习题库

-教学手段：小组讨论、问题驱动法、探究式学习

教学过程

一、导入新课

（1）同学们，我们在上一节课学习了椭圆的定义和标准方程，大家还记得椭圆的几何特征吗？椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和是定值。那么，是否存在一种曲线，它的两个焦点到任意一点的距离之差是定值呢？今天我们就来探究这个问题。

二、新课讲解

（1）请同学们观察大屏幕上的动画，这个动画展示了什么几何图形？对了，这就是双曲线。双曲线是一种特殊的曲线，它有两个焦点。现在，请大家思考一个问题：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之和和距离之差有什么关系？

（2）根据同学们的观察和思考，我们可以给出双曲线的定义：在平面内，到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（2a大于0）的点的轨迹叫做双曲线。其中，F1、F2叫做双曲线的两个焦点，2a叫做双曲线的实轴长。

（3）接下来，我们一起来推导双曲线的标准方程。请同学们拿出纸笔，跟随我的步骤一起进行推导。

-假设双曲线的中心在原点，焦点分别在x轴的正负方向上，那么双曲线的方程可以表示为：x2/a2-y2/b2=1。

-这个方程是如何得出的呢？请大家回忆一下椭圆的方程推导过程，椭圆的方程是通过将椭圆上的点坐标代入两点间的距离公式得出的。同样地，我们可以将双曲线上的点坐标代入双曲线的定义中的距离公式来推导方程。

-在推导过程中，我们会用到二次方程的求解和平方差公式。请大家注意观察，以下是推导过程：

假设点P(x,y)在双曲线上，那么根据双曲线的定义，我们有：

|PF1|-|PF2|=2a

将PF1和PF2分别表示为距离公式，得到：

√[(x+c)2+y2]-√[(x-c)2+y2]=2a

对上式进行平方和移项，得到：

(x+c)2+y2-2√[(x+c)2+y2]√[(x-c)2+y2]+(x-c)2+y2=4a2

化简上式，得到：

4c2x+2y2-4a2=0

整理得到双曲线的标准方程：

x2/a2-y2/b2=1

（4）现在，我们已经得到了双曲线的标准方程。接下来，请同学们结合教材中的例题，尝试应用双曲线的标准方程来解决问题。

三、例题讲解

（1）请同学们看教材上的例题1。这道题要求我们根据双曲线的焦点和实轴长，求出双曲线的标准方程。

-首先，我们根据题目中给出的焦点坐标和实轴长，可以确定双曲线的中心在原点，焦点在x轴的正负方向上。

-然后，我们根据双曲线的定义，列出距离公式，并代入焦点和实轴长的值。

-最后，通过化简和整理，我们得到了双曲线的标准方程。

（2）接下来，请同学们尝试解答教材上的例题2。这道题要求我们根据双曲线的标准方程，求出双曲线的焦点和实轴长。

-首先，我们观察双曲线的