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第4讲二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
考点一:二次函数与方程的关系
【知识点睛】
求两函数图象的交点
对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+n、水平直线y=m:
①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0,即:ax2+bx+c=0;
②当求抛物线与直线y=kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式,得,先求x,[即],再代入直线解析式求y,(x,y)的对应值即为所求交点的坐标;
③当求抛物线与水平直线y=m的交点是→则联立两个解析式,得
,先求x,[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y,(x,y)的对应值即为所求交点的坐标;
判断抛物线与直线的交点个数
对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+n、水平直线y=m:
①求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数→ax2+bx+c=0
△=b2-4ac,
∴有:△>0,抛物线与x轴有2个交点;
△=0,抛物线与x轴有1个交点;
△<0,抛物线与x轴无交点;
②求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+n交点个数→
整理得:,
∴有:△>0,抛物线与直线y=kx+n有2个交点;
△=0,抛物线与直线y=kx+n有1个交点;
△<0,抛物线与直线y=kx+n无交点;
③求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与水平直线y=m交点个数→
整理得:,后续求交点个数方法同上。
一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义
将“=”左边的部分看作抛物线y=ax2+bx+c,“=”右边的部分看作水平直线y=n,则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标,所以交点横坐标的值就是方程的解。
【类题训练】
1.方程2x2﹣3x﹣4=0的解,可看成以下两个函数图象交点的横坐标,其中正确的个数是()
①②③④
A.4 B.3 C.2 D.1?
【分析】由两函数图象交点坐标为两函数的解析式组成的方程组的解,由此判断即可.
【解答】解:①、把y=3x代入到y=2x2﹣4得,3x=2x2﹣4,整理得:2x2﹣3x﹣4=0,∴方程2x2﹣3x﹣4=0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标,∴①符合题意;
②、把y=4代入到y=2x2﹣3x得,4=2x2﹣3x,整理得:2x2﹣3x﹣4=0,∴方程2x2﹣3x﹣4=0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标,∴②符合题意;
③、把y=3x+4代入到y=2x2得,3x+4=2x2,整理得:2x2﹣3x﹣4=0,∴方程2x2﹣3x﹣4=0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标,∴③符合题意;
④、把代入到y=2x﹣3得,,整理得:2x2﹣3x﹣4=0,∴方程2x2﹣3x﹣4=0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标,∴④符合题意;
故选:A.
2.若抛物线y=﹣x2+4x﹣2向上平移m(m>0)个单位后,在﹣1<x<4范围内与x轴只有一个交点,则m的取值范围是()
A.m≥2 B.0<m≤2 C.0<m≤7 D.2≤m<7
【分析】先求出平移后的函数解析式,分别求出抛物线经过(﹣1,0),(4,0)时m的值,进而求解即可.
【解答】解:将抛物线y=﹣x2+4x﹣2向上平移m(m>0)个单位后得到y=﹣x2+4x﹣2+m,
∵y=﹣x2+4x﹣2+m在﹣1<x<4范围内与x轴只有一个交点,
∴当(﹣1,0)在抛物线上时,
0=﹣1﹣4﹣2+m,
解得m=7;
当(4,0)在抛物线上时,
0=﹣16+16﹣2+m,
解得m=2;
∴2≤m<7.
故选:D.
3.我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小王同学画出了“鹊桥”函数y=|x2+2x﹣3|的图象(如图所示),下列结论错误的是()
A.图象具有对称性,对称轴是直线x=﹣1
B.当x=﹣1时,函数有最大值是4
C.当x=﹣3或x=1时,函数有最小值是0
D.当﹣1<x<1或x<﹣3时,函数值随值的增大而减小
【分析】观察图象,分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标,结合图象逐个选项分析判断即可.
【解答】解:观察图象可知,图象具有对称性,对称轴是直线,
故A正确,不符合题意;
令丨x2+2x﹣3丨=0,可得x2+2x﹣3=0,
∴(x﹣1)(x+3)=0,
∴x1=1,x2=﹣3,
∴(1,0)和(﹣3,0)是函数图象与x轴的交点坐标,
由图象可知,当x<﹣3时,函数值随x的减小而增大,
当x>1时,函数值随x的增大而增大,
由图象可知(﹣1,0)和(3,0)是函数图象的最低点,
则当x=﹣1或x=3时,函数最小值是0,
故C正确,不符合题意;
综合来看:y=丨x2+2x﹣3丨≥0,
所以当x=﹣1时的函数值为4并非最大值,
故B错误,符合题意;
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