人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式的关系（解析版）.doc

第4讲二次函数与一元二次方程、不等式间的关系

考点一：二次函数与方程的关系

【知识点睛】

求两函数图象的交点

对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:

①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0；

②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；

③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得

，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；

判断抛物线与直线的交点个数

对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:

①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0

△=b2-4ac，

∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点；

△＝0，抛物线与x轴有1个交点；

△＜0，抛物线与x轴无交点；

②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→

整理得：，

∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点；

△＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点；

△＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点；

③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→

整理得：，后续求交点个数方法同上。

一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义

将“=”左边的部分看作抛物线y＝ax2+bx+c，“=”右边的部分看作水平直线y＝n，则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标，所以交点横坐标的值就是方程的解。

【类题训练】

1．方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（）

①②③④

A．4 B．3 C．2 D．1?

【分析】由两函数图象交点坐标为两函数的解析式组成的方程组的解，由此判断即可．

【解答】解：①、把y＝3x代入到y＝2x2﹣4得，3x＝2x2﹣4，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴①符合题意；

②、把y＝4代入到y＝2x2﹣3x得，4＝2x2﹣3x，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴②符合题意；

③、把y＝3x+4代入到y＝2x2得，3x+4＝2x2，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴③符合题意；

④、把代入到y＝2x﹣3得，，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴④符合题意；

故选：A．

2．若抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（）

A．m≥2 B．0＜m≤2 C．0＜m≤7 D．2≤m＜7

【分析】先求出平移后的函数解析式，分别求出抛物线经过（﹣1，0），（4，0）时m的值，进而求解即可．

【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后得到y＝﹣x2+4x﹣2+m，

∵y＝﹣x2+4x﹣2+m在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，

∴当（﹣1，0）在抛物线上时，

0＝﹣1﹣4﹣2+m，

解得m＝7；

当（4，0）在抛物线上时，

0＝﹣16+16﹣2+m，

解得m＝2；

∴2≤m＜7．

故选：D．

3．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（）

A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣1

B．当x＝﹣1时，函数有最大值是4

C．当x＝﹣3或x＝1时，函数有最小值是0

D．当﹣1＜x＜1或x＜﹣3时，函数值随值的增大而减小

【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．

【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，

故A正确，不符合题意；

令丨x2+2x﹣3丨＝0，可得x2+2x﹣3＝0，

∴（x﹣1）（x+3）＝0，

∴x1＝1，x2＝﹣3，

∴（1，0）和（﹣3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，

由图象可知，当x＜﹣3时，函数值随x的减小而增大，

当x＞1时，函数值随x的增大而增大，

由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，

则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，

故C正确，不符合题意；

综合来看：y＝丨x2+2x﹣3丨≥0，

所以当x＝﹣1时的函数值为4并非最大值，

故B错误，符合题意；