重难点01 空间中的动点与轨迹问题（解析版）-A4.docx

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重难点01空间中的动点与轨迹问题

一、单选题

1．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解.

【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点，

所以，

则

，

当点与某个侧面的中心重合时，最小，且，

当点与正方体的顶点重合时，最大，且，

由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是，

的取值范围是.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可.

2．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,,

则，.

因为，所以，

所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段.

易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，

所以动点的轨迹长度为

故选：A

3．（23-24高二下·河南·开学考试）在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，设，且，根据将表示为的函数，再换元求的范围即可.

【详解】

取的中点，连接，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则.

因为是棱上一动点，设，且，

所以.

因为，所以.

令，则.

又函数在上为增函数，

所以线段的长度的取值范围为.

故选：D

4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】由正方体性质可知，平面，平面平面，故动点在直线上，建立空间直角坐标系，利用空间向量法表示线线角，并求最值.

【详解】

由正方体性质可知，，，，

平面，平面，

易知平面，平面平面，

故动点在直线上，

设正方体棱长为1，并如图建立空间直角坐标系，

则，

设两直线所成角为，，

故，即，

令，则，

所以当时，即时，.

故选：A

5．（23-24高二上·北京·期中）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（????）

①存在点，使得????②不存在点，使得平面

③三棱锥的体积是定值????④不存在点，使得与所成角为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对于①，由、即可判断；对于②，若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；对于③，只需求证与面是否平行；对于④，利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.

【详解】对于①，在正方体中，，，

则四边形为平行四边形，所以，，

而为线段的中点，即为的中点，所以，

若存在点，使得，且、不重合，则，

这与矛盾，假设不成立，①错；

对于②，若为中点，则，而，故，

又面，面，则，故，

因为，、面，则面，

所以存在使得平面，②错；

对于③，在正方体中，，，

所以，四边形为平行四边形，则，

而面，故与面不平行，

所以Q在线段上运动时，到面的距离不是定值，

故三棱锥的体积不是定值，③错；

对于④，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图示空间直角坐标系，

则、，且，

所以，，

则，

整理可得，解得，合乎题意，

所以，存在点，使得与所成角为，④错.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（????）

??

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，将则点到平面的距离表示出来即可求得最值.

【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，

则，设．

??

设平面的一个法向量为，则，

设，则，则，

所以点到平面的距离为，

又，所以当时，

点到平面的距离取得最小值为．

故选：D．

7．（23-24高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边