专题5 极值点偏移六脉神剑之“中冲剑”（教师版）-极值点偏移专题.docx

极值点偏移六脉神剑之“中冲剑”

中冲剑——右手中指-手厥阴心包经。特点：大开大阖，气势雄迈。

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与，比较与的大小，即比较与的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。

本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解．

对点详析，利器显锋芒

★（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）已知函数，，如果函数有两个极值点、，求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）令，其中，且有，

，

令，则.

①当时，即当时，对任意的，，即，

所以，函数在区间上为增函数，当时，，合乎题意；

②当时，则或.

（i）当时，对任意的，，即，

所以，函数在区间上为增函数，当时，，合乎题意；

（ii）当时，设函数的两个极值点分别为、，设，

由韦达定理得，则必有，

当时，，当时，.

所以，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）若，

则有两个不同的零点、.

由题意，相加有，①

相减有，从而，

代入①有，

即，

不妨设，则，由（1）有.

又，

所以，即，

设，则，在单调递增，

又，

，，因此.

★已知函数，其中a为非零常数．

讨论的极值点个数，并说明理由；

若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】解：由已知，的定义域为，

，

①当时，，从而，

所以在内单调递减，无极值点；

②当时，令，

则由于在上单调递减，，，

所以存在唯一的，使得，

所以当时，，即；当时，，即，

所以当时，在上有且仅有一个极值点.

综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；

证明：由知．

令，由得，

所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，

不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，

所以是的唯一极值点．

令，则当时，，

故在内单调递减，

从而当时，，所以．

从而当时，，且

又因为，故在内有唯一的零点．

由题意，即，

从而，即．

因为当时，，又，

故，即，

两边取对数，得，

于是，整理得．

★已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）试比较与的大小，并说明理由；

（2）若函数有两个不同的零点，证明：.

【答案】（1）（2）见解析

试题解析：

（1）依题意得，

所以，又由切线方程可得，即，解得

此时，，

令，即，解得；

令，即，解得,所以的增区间为，减区间为

所以，即，

，.

（2）证明：不妨设因为

所以化简得，

可得，.

要证明，即证明，也就是

因为，所以即证

即，令，则，即证.

令（），由

故函数在是增函数，所以，即得证.

所以.

点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后再利用导数来证明.

内练精气神，外练手眼身

★已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）函数的定义域为.

，

因为，所以，

①当，即时，

由得或，由得，

所以在，上是增函数，在上是减函数；

②当，即时，所以在上是增函数；

③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函

综上可知：

当时在，上是单调递增，在上是单调递减；

当时，在.上是单调递增；

当时在，上是单调递增，在上是单调递减.

（2），，

当时，，所以在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以.

由得，即，

不妨设，则，

要证，只需证，即证，

只需证，令，只需证，即证，

令，则，

所以在上是增函数，所以，

从而，故.

★已知函数．

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)有极值，对任意的x1,x2，当0x1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）f(x)的定义域为(0,+鈭?，

f

①若a鈮?，则f/(x)0，所以f(x)在

②若a0，当x鈭?0,1a)时，f

当时，f(x)0,f(x)

(2)由（1）当a0时，f(x)存在极值.

由题设得f

=

又，

f(

设x2x1

令g(t)=lnt?

所以g(t)在(1,+鈭?上是增函数，所以g(t)g(1)=0

又0x1

因此f

即f

又由f(x)=