第05讲 二次函数的应用（6种题型）（解析版）.pdfVIP

第05讲二次函数的应用（6种题型）

【知识梳理】

一．抛物线与x轴的交点

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求二次函数y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax+bx+c

＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

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（1）二次函数y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax+bx+c＝0

根之间的关系．

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△＝b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

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△＝b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

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△＝b﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；

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△＝b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x）（x﹣x）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛

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物线与x轴的交点坐标（x，0），（x，0）．

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二．图象法求一元二次方程的近似根

利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：

（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；

（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；

（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．

三．二次函数与不等式（组）

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二次函数y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系

①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量x的取值范围．

②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．

四．根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问

题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函

数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握

数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几

何知识建立量与量的等式．

五．二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论．

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题．

六．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，

并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义．

【考点剖析】

一．抛物线与x轴的交点（共4小题）