第09讲 圆心角与圆周角（4种题型）（原卷版）.pdf

第09讲圆心角与圆周角（4种题型）

【知识梳理】

一．圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧

或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一

①②③

推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与

原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

二．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的

关系进行转化．圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．定理成立的条件是“同

②③

一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一

条弧所对的圆周角和圆心角．

三．圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补．

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起

来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

四．相交弦定理

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各

弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

2

几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC＝PA•PB（相交弦定理推论）．

【考点剖析】

一．圆心角、弧、弦的关系（共9小题）

1．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）

A．∠OBA＝∠OCAB．四边形OABC内接于⊙O

C．AB＝2BCD．∠OBA+∠BOC＝90°

2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度

数是．

3．（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则

⊙O的周长为（）

A．4πB．6πC．8πD．9π

4．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若

∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（）

A．70°B．80°C．90°D．100°

5．（2023•路桥区校级二模）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧

AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是．