专题08以抛物线为情境的几何证明（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docxVIP

抛物线必会十大基本题型讲与练

08以抛物线为情景的几何证明

典例分析

类型一、以抛物线为情景的点与直线或曲线位置关系的证明

1．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．

(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；

(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．

【答案】(1)4；(2)证明见解析.

【分析】

（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.

（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.

【解析】

(1)抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得，，设点，，则，，矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，所以．

(2)由（1）得，，，，于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.

所以线MN与直线CD交点在定直线上.

【点睛】涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；

若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.

2．已知抛物线C：的焦准距为2，过C上一动点作斜率为，的两条直线分别交C于，两点（P，A，B三点互不相同），且满足．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线AB上一点M，满足，证明：线段PM的中点在y轴上．

【答案】(1);(2)证明见解析

【分析】

（1）根据焦准距求得，从而求得抛物线的方程.

（2）求得两点的横坐标，结合求得，从而证得结论成立.

【解析】

(1)由于抛物线的焦准距，所以抛物线的方程为.

(2)直线的方程为，由解得，同理可求得，

由于，，则，

由于，即，

所以，，

所以，即线段PM的中点在y轴上．

3．已知抛物线C；，F为抛物线的焦点，直线和抛物线交于不同两点A，B，直线和x轴交于点N，直线AF和直线BN交于点．

(1)若，求三角形AMN的面积（用p表示）；

(2)求证：点M在抛物线C上

【答案】(1);(2)证明见解析

【分析】

（1）分别求出直线AF和直线BN及其交点M,进而求出；

（2）分别求出直线AF和直线BN交点M，进而可得点M坐标符合抛物线方程，即证.

【解析】

(1)∵，∴，，，

(2)，，，：??????????①

：????????②，联立①②：，点M满足：

∴M在抛物线C上．

类型二、以抛物线为情景的两角关系的证明

1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．

(1)求证：点P的纵坐标为定值；

(2)若F是抛物线C的焦点，证明：．

【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.

【分析】

（1）根据圆和抛物线的对称性，结合导数的几何意义进行求解证明即可.

（2）转化为证明向量分别与向量的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论.

【解析】

(1)由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，代入抛物线方程可得2p=1，所以抛物线的方程为x2=y，

设A，B，所以，所以直线AB的方程为，

即，因为直线AB过点C(0，2)，所以，所以①.

因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，直线PA的方程为，

即，同理直线PB的方程为，联立两直线方程，可得P

由①可知点P的纵坐标为定值-2.

(2)，，注意到两角都在内，

可知要证，即证，，，

所以，又，所以，同理式得证.

2．已知抛物线的焦点为F，M为T上一动点，N为圆上一动点，的最小值为.

(1)求T的方程；

(2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且，

证明：.

【答案】(1);(2)证明见解析

【分析】

（1）先判断出当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；

（2）设出直线方程，联立抛物线求出，由解出，再由即可证明.

【解析】

(1)

由题得，当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时，取得最小值，

最小值为，又，解得，所以T的方程为.

(2)当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，

则，所以，又，

所以，所以，解得或（舍去），即，所以，

所以，又

，所以.

类型三、以抛物线为情景的定值问题的证明

1．已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．

【答案】(1)；(2)证明见详解．

【分析】

（1）依题意得点P与点的距离与它到直线的距离相等，则P的轨迹C是抛物线，