吉林省长春市第五中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题.docx

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吉林省长春市第五中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，则（???）

A． B． C． D．

2．设（其中为虚数单位），则（???）

A． B． C． D．

3．若单位向量满足．则的夹角为（???）

A． B． C． D．

4．已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（???）

A．6 B．4 C． D．2

5．设，则（???）

A． B． C． D．

6．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（???）

A． B． C． D．

7．给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（????）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．②

8．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（????）

A．

B．平面平面

C．三棱锥的体积是

D．三棱锥的外接球的体积是

10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（???）

A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则

11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（????）

A． B．

C．当时， D．在上单调递增

三、填空题

12．设函数，若方程至少有3个不同的实数根，则实数的取值范围为.

13．已知函数，下列说法正确的是（填序号）

①为奇函数；????????②为偶函数；

③在上单调递减；????④在上单调递增．

14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为．

四、解答题

15．已知向量，设函数．

(1)求函数的最小正周期和最大值；

(2)设锐角△三个内角的对边分别为，若且，求．

16．已知数列满足，，为数列的前项和．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)求数列的前项和．

17．已知函数.

(1)当时，求的最小值；

(2)若存在，使得，求实数的取值范围.

18．如图，已知三棱锥，底面是等腰三角形，，是等边三角形，为线段上一点，，二面角的大小为.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

A

A

C

B

D

ABD

BC

题号

11

答案

ACD

1．D

【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】，

，

所以.

故选：D.

2．B

【分析】直接把所给复数化简，然后求其共轭复数即可.

【详解】，所以，

故选：B.

3．C

【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果.

【详解】由题意，，

由得，

即，所以，

设与的夹角为，

所以，

又，所以.

故选：C

4．A

【分析】设数列公比为，由等比数列通项公式及题意可得答案.

【详解】设数列公比为，则，

，因，

则（负舍）.

故选：A

5．A

【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.

【详解】因为，

，

又，，所以，

，

且，所以，

所以.

故选：A.

6．C

【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算．

【详解】连接，

在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角，

由已知，，，

由余弦定理得，，

，

∴．

故选：C．

??

7．B

【分析】①化简函数，代入周期公式，判断周期；②由，判断出，去绝对值即可判断单调性；③化简函数利用余弦函数判断对称轴.

【详解】对于①，由，最小正周期为，结论①不正确；

对于②，由，有，所以，

此时在区间单调递增，结论②正确；

对于③，，

对称轴由确定，当时，，结论③正确.

故选：B

8．D

【分析】