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浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列

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第二讲普通最小二乘估计量

一、基本概念：估计量与估计值

对总体参数的一种估计法则就是估计量。例如，为了估计总体均值为u，我们可以抽取一个容量为N的样本，令Yi为第i次观测值，则u的一个很自然的

估计量就是。A、B两同学都利用了这种

估计方法，但手中所掌握的样本分别是(y,y,...,y)与(y,y,...,y)。A、B两同学分别计算出估计值

与。因此，在上例中，估计量

是随机的，而A,B是该随机变量可能的取值。估计量所服从的分布称为抽样分布。

如果真实模型是：y=β0+β1x+ε,其中β0,β1是待估计的参数，而相应的OLS估计量就是：

我们现在的任务就是，基于一些重要的假定，来考察上述OLS估计量所具有的一些性质。

二、高斯-马尔科夫假定

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●假定一：真实模型是：y=β0+β1x+ε。有三种情况属于对该假定的违背：（1）遗漏了相关的解释变量或者增加了无关的解释变量；（2）y与x间的关系是非线性的；（3）β0,β1并不是常数。

●假定二：在重复抽样中，(x1,x2,...,xN)被预先固定下来，即(x1,x2,...,xN)是非随机的（进一步的阐释见附录），显然，如果解释变量含有随机的测量误差，那么该假定被违背。还存其他的违背该假定的情况。

笔记：

(x1,x2,...,xN)是随机的情况更一般化，此时，高斯-马尔科夫假定二被更改为：对任意i,j,xi与εj不相关，此即所谓的解释变量具有严格外生性。显然，当(x1,x2,...,xN)非随机时，xi与εj必定不相关，这是因为εj是随机的。

●假定三：误差项期望值为0，即E(εi)=0,i=1,2,...,N。

笔记：

1、当(x1,x2,...,xN)随机时，标准假定是：E(εix1,x2,...,xN)=0,i=1,2,...,N

根据迭代期望定律有：E[E(εix1,x2,...,xN)]=E(εi),因此，如果E(εix1,x2,...,xN)=0成立，必定有：E(εi)=0。

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另外，根据迭代期望定律也有：

E[E(εixjx1,x2,...,xN)]=E(εixj)

而E(εixjx1,x2,...,xN)=xjE(εix1,x2,...,xN)。故有：

→Cov(εi,xj)=E(εixj)-E(εi)E(xj)=0

因此，在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，假定二、三可以修正为一个假定：E(εix1,x2,...,xN)=0。

2、所谓迭代期望定律是指：如果信息集Θ≤Ω,则有E[E(XΩ)Θ]=E(XΘ)。为了理解上述等式，考虑一个极端

情况：Ω包含了全部的信息，此时X丧失了随机性，故E(XΩ)=X，因此必有E[E(XΩ)Θ]=E(XΘ)。无条件期望所对应的信息集是空集，因此E[E(XΩ)]=E(X)。

3、回忆第一讲，对模型y=β0+β1x+ε,在OLS法下我们一定能保证:(1)残差均值为零;(2)残差与x样本不相关。残差是对误差的近似，如果假定二、三不成立，即误差项与解释变量相关，误差项期望值不为零，显然此时残差并不是对误差项的有效的近似，换句话说，此时OLS估计量是有严重问题的。因此，假定二、三非常重要。

●假定四=δ2，即所谓的同方差假定。

笔记：

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在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，该假定修订为：Var(εix1,x2,...,xN)=δ2

●假定五：Cov(εi,εj)=0,i≠j，即所谓的序列不相关假定。

笔记：

在(x1,x2,...,xN)是随机的情况下，该假定修订为：Cov(εi,εjx1,x2,...,xN)=0,i≠j

●假定六：Σ(xi-x)2≠0，在多元回归中，该假定演变为XX’的逆存在，即各解释变量不完全共线。

三、高斯-马尔科夫定理

当高斯-马尔科夫假定成立时，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量方差最小。或者说，OLS估计量是最优线性无偏估计量（bestlinearunbias