新高考数学一轮复习考点精讲精练 第04讲 幂函数与二次函数（原卷版）.doc

第04讲幂函数与二次函数

1．幂函数

(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

图象

性质

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增

在R上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

公共点

(1,1)

2．一般幂函数的图象特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)当α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸．

(3)当α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

(5)在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

3．二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

R

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称

一．幂函数及其图象和性质

例1．（1）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【复习指导】：判断函数为幂函数的方法

(1)自变量x前的系数为1.

(2)底数为自变量x.

(3)指数为常数．

（2）下列命题中正确的是（????）

A．当时，函数的图像是一条直线；

B．幂函数的图像都经过和点；

C．幂函数的定义域为；

D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．

（3）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（????）

A． B． C． D．

（4）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(????)

A． B．

C． D．

（5）（多选）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（????）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

（6）若，试求的取值范围.

【复习指导】：(1)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

二．比较幂值的大小

例2．（1）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（????）

A． B． C． D．

（2）已知，，，则，，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

（3）已知，，则a、b、c的大小关系为（）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a

（4）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（????）

A． B． C． D．

（5）比较下列各组中两个幂的值的大小：

=1\*GB3①，；

=2\*GB3②，；

=3\*GB3③，；

=4\*GB3④，.

【复习指导】：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点：指数不变，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键，另外特别要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

三．求二次函数的解析式

例3．（1）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线相切，则满足上述条件的二次函数可以为_______.

（2）已知二次函