新高考数学一轮复习考点精讲精练 第08讲 函数与方程（解析版）.doc

第08讲函数与方程

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

一．函数零点所在区间的判定

例1．（1）函数的零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.

【详解】解：∵，

，

则，

∴函数的零点所在区间是?，

当，且时，

，

，

，

ACD中函数在区间端点的函数值均同号，

根据零点存在性定理，B为正确答案.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.

（2）函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，由零点存在定理判断．

【详解】设，是上的增函数，在和上都是减函数，

，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，

，，所以在上有零点．

所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为

故选：B．

（3）方程的解所在的区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间

【详解】都是上的增函数，

故是上的增函数，

又由，，

，

因为，

所以，，

所以，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误；

故选：C.

（4）（多选）下列函数中，在区间上存在唯一零点的有（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，求出函数的零点、利用零点存在性定理判断即可作答.

【详解】对于A，由，即，得或，因此函数在上有两个零点，A不正确；

对于B，在定义域上单调递增，，，

则存在，使得，因此函数有唯一零点，且在区间上，B正确；

对于C，函数在上单调递增，，因此函数有唯一零点1，且在区间上，C正确；

对于D，函数在定义域上单调递减，，

存在，使得，因此函数有唯一零点，且在区间上，D正确.

故选：BCD

（5）用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，其中，及，求得，即可求解．

【详解】由题意，设，

其中，

又由，则，

可得方程根在区间．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了二分法的应用，其中解答中熟记二分法的概念，以及合理应用零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

（6）函数的零点所在区间为，则____________．

【答案】2

【分析】利用导数确定函数的单调性，然后判断和正负，根据零点存在性定理即可求自然数n的取值．

【详解】，当时，，所以在上单调递增．

因为，，

∴存在唯一的使得，

又∵函数的零点所在区间为，

所以．

故答案为：2．

【复习指导】：确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

二．函数零点个数的判定

例2．（1）函数的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B

【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数

（2）函数的零点的个数是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令可得，作出函数、的图象，观察两函数图象的交点个数，即可得解.

【详解】令可得，则函数的零点个数即为函数、图象的交点个数，

分别作函数、的图象，如图，

由图可得交点个数为，

因此，函数的零点的个数是，

故选：B.

（3）已知函数，则函数的零点个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】