第12讲 5.7三角函数的应用（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）（解析版）-A4.docx

第PAGE页

第12讲5.7三角函数的应用

课程标准

学习目标

①掌握三角函数的图象与解析式之间的对应问题的处理方法。

②能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题。

③能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题。

④掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知识解决问题。

掌握常见的三角函数应用问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题

知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义

振幅

它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离?

周期

它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间?

频率

它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数

相位

时的相位称为初相?

知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序

应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:?

(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.

(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.

(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.

(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.

题型01三角函数模型在物理学中的应用

【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（????）

A． B． C．1s D．

【答案】D

【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可.

【详解】由题意得，，

故函数的周期为，，可得，

令，解得，

故总时间为，

综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.

故选：D.

【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间与小球相对平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是，．

??

(1)以为横坐标，为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)小球开始振动的位置在哪里？小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？

(3)小球经过多长时间往复振动一次？小球内能振动多少次？小球在什么时间内是升高状态？

【答案】(1)作图见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）根据函数的解析式，利用“五点作图法”即可作出其一个周期上的图象；

（2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案；

（3）求出函数的周期，即得小球往复振动一次的时间，根据函数的频率为周期的倒数，即得小球内能振动的次数，结合图象可判断升高状态的时间段.

【详解】（1）画出函数的简图（长度为一个周期）．

①列表：

t

0

π

π

2

0

?2

0

②描点．

③连线：用平滑曲线依次连接各点即得一个周期内的简图，如图所示．

??

（2）当时，，即小球开始振动时的位置为．

当时，；当时，，

即最高点位置为，，最低点位置为；

最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm．

（3）小球往复振动一次所需时间即周期．

小球1s内振动的次数为频率（次）．

小球在或（，）内是升高状态．

【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（????）．

A．； B．； C．； D．．

【答案】D

【分析】根据振幅可求出，根据周期可求出，根据初相可求出，化简后可得答案.

【详解】由噪声的声波曲线

（其中，，）的振幅为1，

周期为2π，初相为，可得，，，

所以噪声的声波曲线的解析式为，

所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．

故选：D．

【变式2】（多选）（22-23高一上·福建宁德·期末）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第1