专题02双曲线的焦点三角形问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型.docx

双曲线必会十大基本题型讲与练

02双曲线的焦点三角形问题

典例分析

一、焦点三角形面积问题

1．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.

【详解】记，，，∵，∴，在中，

由余弦定理得，配方得，即，

∴，由任意三角形的面积公式得，∴，而，，。

2．（多选题）已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（）

A．点P到x轴的距离为 B．

C．为钝角三角形 D．

【答案】BC

【分析】

根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.

【详解】

由双曲线方程得，，则，由△的面积为20，得，得，即点到轴的距离为4，故错误，将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，

则，由双曲线的定义知，则，

则，故正确，在△中，，则，为钝角，则△为钝角三角形，故正确，

，则错误，故正确的是，

【点睛】本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

3．已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若为直角三角形，则的面积等于______________.

【答案】或9

【分析】

由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，然后分和两种情况求解即可

【详解】由，得，则，所以，

由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，若时，当时，，得，所以，所以的面积为，当时，则，

因为，所以，所以，

所以的面积为，综上所述，的面积为或9。

二、焦点三角形周长问题

1．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周长.

【详解】|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故选：A.

2．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案

【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，

∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A

3．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．

(1)求弦长的值；(2)求的周长．

【答案】(1)3；(2)

【分析】

（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；

（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.

【解析】(1)因为双曲线的焦点为，所以，设．

联立，整理得：，.

(2)记的周长为，则．，

又得．点在右支，故．

同理：点在左支，．

三、焦点三角形形状的判断与应用

1．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．以上均有可能

【答案】B

【分析】分别利用椭圆和双曲线的定义，可求得，的表达式，根据有相同的焦点，可得c相等，可得m，n的关系，整理可得，即可得答案.

【详解】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，则由椭圆与双曲线的定义有：，可得，，即，

因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，所以，所以，

所以，即，是直角三角形．故选：B.

2．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解.

【详解】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，

解得，所以的面积为.故选：C.

3．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（????????????）

A． B．

C．