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概率论与数学建模

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概率论与数学建模

基础知识部分

一、概率论：

1、概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数。

注：事件指随机事件（可重复、可预测、结果明确）

例如抛骰子，抛一枚硬币。

2、常见的随机变量：X

（1）离散型：

泊松分布：

实际应用：时间t内到达的次数；

（小概率事件）一本书中一页中的印刷错误数；

某地区在一天内邮件遗失的信件数；

某一天内医院的急症病人数；

某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数；

一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的α粒子数等等……

（2）连续型：

指数分布：

其中为常数，记为X~Exp

特点:无记忆性。即是

一个元件已经使用了s小时，在此情形下，它总共能使用至少s+t小时的概率，与开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等，即元件对已使用过s小时无记忆。

实际应用：（可靠性理论、排队论）许多“等待时间”都服从指数分布；一些没有明显“衰老”迹象的机械元器件（如半导体元件）的寿命也可也用指数分布来描述……

正态分布：记为

标准正态分布：

正态分布标准化：若Y~N(μ,

““原则：

““原则被实际工作者发现,工业生产上用的控制图和一些产品质量指数都是根据3σ原则制定。

3、随机变量的特征数（数字特征）：

均值（期望）：

方差：

中心极限定理：X1,

则有：lim

模型一、轧钢中的浪费模型：

问题：将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序：粗轧（热轧），形成刚才的雏形；精轧（冷轧），得到规定长度的成品材料。由于受到环境、技术等因素的影响，得到钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以通过调整轧机设定，而均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费；而如果粗轧后的钢材长度小于规定长度，则造成整根钢材浪费。如何调整轧机使得最终的浪费最小。

问题概述：成品材料的规定长度已知为l，粗轧后的钢材长度的标准差为σ，粗轧后的钢材长度的均值m，使得当轧钢机调整到m进行粗轧，然后通过精轧以得到成品材时总的浪费最少。

问题分析：精轧后的钢材长度记为X，X的均值记为m，X的方差为，按照题意。X~N(m,σ2)概率密度函数记为f（x

=p（）。在轧钢过程中产生的浪费由两种情况构成：若Xl，则浪费量为X?l；若Xl，则浪费量为X。注意到当m很大时，Xl的可能性增加，浪费量同时增加；而当

模型建立与求解：

这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用

lm把目标函数表示出来。根据前面的分析，粗轧一根钢材平均浪费长度为：

利用和

由（1）得：W=m-l

以W为目标函数是否合适？

由于轧钢的最终产品是成品材，浪费的多少不应以每粗轧一根钢材的平均浪费量为标准，而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量。因此目标函数为：

因为是已知的常数，所以目标函数可以等价的取为：

其中，

易见平均每得到一根成品钢材所需要的刚才长度，问题就转化为求m使达到最小。

令则(2)式可表为：

其中：

可用微分法解的极值问题。不难推出最优值Z应满足方程：

（*）

记F(Z)可根据标准正态分布的函数值和制成表格式给出图形。

Z

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

F

227.0

56.79

18.10

7.260

3.477

1.680

Z

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

F

1.253

0.876

0.656

0.516

0.420

0.355

由上表可得方程（*）的根Z*

注：当给定λF（0）=1.253时，方程（*）不止一个根，但是可以证得，只有唯一负根Z*0，才使取得极小值。

模型二、（美国）一个地区911应急服务中心在过去的一年内平均每月要收到171个房屋火灾电话，基于这个资料的，火灾率被估计为每月171次，下个月收到火灾报警电话只有153个，这表明房屋火灾率实际上实际上是减少了，或是或是它只是一个随机波动？

分析：Xn——第n-1次和第n次火灾之间的时间（月），X1…，Xn，…是独立的且每一个Xn服从参数为λ的指数分布，λ为报告的房屋火灾率（月），即是：，（Xi0）

目标：给定λ=171，确定每月收到153次这样的少的电话报警的概率有多大？或者说每月收到153是否属于正常范围内？

建