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太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》

抽象代数高等数学教材

抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概

念及其性质。它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要

课程。本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方

法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。

第一章：群论

1.1群的定义与性质

1.2群的子群与商群

1.3幺半群与半群

1.4群同态与同构

1.5群的作用与置换群

第二章：环论

2.1环的定义与性质

2.2整环与域

2.3环的同态与同构

2.4素理想与极大理想

2.5多项式环与唯一因子分解整环

第三章：域论

太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》

3.1域的定义与性质

3.2代数扩域与超越扩域

3.3有限域与伽罗华理论

3.4不可约多项式与域的扩张

第四章：线性代数

4.1线性空间的定义与性质

4.2线性变换与矩阵

4.3特征值与特征向量

4.4正交矩阵与对角化

4.5线性空间的直和与内积空间

第五章：模论

5.1模的定义与性质

5.2子模与商模

5.3生成元与基本定理

5.4非交换环上的模

5.5自由模与有限生成模

第六章：域扩张与代数闭包

太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》

6.1域扩张的概念与性质

6.2代数元与超越元

6.3代数闭包与代数簇

6.4代数闭域与代数不变量

6.5有理函数与分式域的构造

第七章：范畴论与同调代数

7.1范畴的基本概念与性质

7.2范畴的构造与自然变换

7.3函子与函子范畴

7.4外代数与同调代数基础

7.5奇异同调与同调算子

第八章：群表示论

8.1群表示的基本概念与性质

8.2单群与群同态

8.3群表示与欣格尔引理

8.4卷积公式与算术引理

8.5特殊群的表示与表示的构造

太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》

结语：

本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在

培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思